Dénombrement (DM)
Bonjour, j'ai un devoir maison à faire pour la rentrée sur le dénombrement.
SUJET
Un questionnaire à choix multiples (Q.C.M.) est constitué de 8 questions. Pour chacune d'elles, 4 réponses sont proposées dont une seule est exacte. Un candidat répond au hasard.
1. Déterminer le nombre de réponses possibles à ce Q.C.M.
2. Déterminer le nombre de cas où les réponses du candidat aux six premières questions sont exactes et fausses aux deux autres.
3. Déterminer le nombre de cas où le candidat répond correctement à exactement six questions.
4. Déterminer le nombre de cas où le candidat répond correctement à aux moins six questions. En déduire la probabilité que le candidat soit reçu si on lui demande de donner au moins six bonnes réponses.
MES REPONSES.
1. Card (E) = Card (questions) * Card (réponses) = 8 * 4 = 32
2. 1 parmi 1 * 6 + 1 parmi 3 * 2 = 6 + 3 * 2 = 12
3. 6 parmi 8 = 28
4. 6 parmi 8 + 7 parmi 8 + 8 parmi 8 = 28 + 8+ 1 = 37
Merci d'avance.
SUJET
Un questionnaire à choix multiples (Q.C.M.) est constitué de 8 questions. Pour chacune d'elles, 4 réponses sont proposées dont une seule est exacte. Un candidat répond au hasard.
1. Déterminer le nombre de réponses possibles à ce Q.C.M.
2. Déterminer le nombre de cas où les réponses du candidat aux six premières questions sont exactes et fausses aux deux autres.
3. Déterminer le nombre de cas où le candidat répond correctement à exactement six questions.
4. Déterminer le nombre de cas où le candidat répond correctement à aux moins six questions. En déduire la probabilité que le candidat soit reçu si on lui demande de donner au moins six bonnes réponses.
MES REPONSES.
1. Card (E) = Card (questions) * Card (réponses) = 8 * 4 = 32
2. 1 parmi 1 * 6 + 1 parmi 3 * 2 = 6 + 3 * 2 = 12
3. 6 parmi 8 = 28
4. 6 parmi 8 + 7 parmi 8 + 8 parmi 8 = 28 + 8+ 1 = 37
Merci d'avance.
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Réponses
Par exemple, on peut noter 13 le questionnaire où on donne la réponse 1 à la première question et la réponse 3 à la deuxième.
Edit : titre en minuscules.
e.v.
Il y a un truc qui cloche là-dedans, tu devrais y retourner immédiatement.
-- Schnoebelen, Philippe
VF. VF VV FF. FF. FV. FF FF FV Donc 9 possibilités ?
Tu tiens compte du fait qu’il y a trois réponses fausses ou pas ?
-- Schnoebelen, Philippe
Question 1 : 32
Question 4 : 37
Je résume : il y a en tout 32 possibilités, et parmi ces 32 possibilités, il y en a 37 où le candidat a au moins 6 bonnes réponses.
A la question 3 par exemple, quand tu réponds 6 parmi 8 ... ce n'est pas une phrase.
Si tu t'efforces de faire une phrase, avec sujet-verbe-complément, tu vas t'efforcer à réfléchir, à reformuler le problème. Et tu vas dire des choses un peu moins fausses que ce que tu dis pour l'instant.
Moi, quand tu me dis 6 parmi 8 ... tu me parles chinois.
Donne une phrase où une justification qui pourrait être comprise par n'importe qui.
Faire des maths n’est pas donner des réponses, même brillantes, mais convaincre tout le monde et d’abord soi-même que la réponse apportée est incontestable. Ça a plus de classe d’ailleurs.
Ce serait bien de faire déjà la question 1, qui est de niveau fin de collège. Et est encore une application immédiate d'un cours de base sur les dénombrements. Alors, combien de réponses différentes possibles ?
Cordialement.
Il y a 65 536 possibilités
J'ai utilisé le théorème qui dit: Soit E ensemble fini tel que Card(E)=p où p est un entier naturel. Pour tout entier n supérieur ou égal à 1 : le nombre de n-uplets de E est égal à P puissance n autrement dit Card (E puissance n) = p puissance n
Donc Card (E) = 4 donc Card ( E puissance 8) = 4 puissance 8 = 65 536
Merci de m'indiquer si c'est bon
La question 2 est une application de la même règle ? ou pas ?
Que proposes-tu pour cette 2ème question, sachant que ce que tu avais mis dans ton 1er message était faux.
"Il y a un truc qui cloche là-dedans, tu devrais y retourner immédiatement."
Je salue l'amateur de Boris Vian ;-)
@loulou290
Attache-toi à te demander, à chaque fois, si tu tires dans l'ordre (ou indépendamment de l'ordre), et avec répétition (ou sans répétition). Ce sera un bon défrichage.
Je ne sais pas exactement comment m'y prendre.
Je sais qu'il y a 1 chance sur 4 d'avoir la bonne réponse et 3/4 d'avoir une mauvaise
Questions 1 2 3 4 5 6 7 8
Réponses V V V V V V F F F FFF
Donc 3*3 = 9. (les 3 corespondent aux F )
Donc il y a 9 cas où les réponses du candidat aux six premières questions sont exactes et fausses aux deux autres.
Je ne sais pas si c'est juste, si ça l'est je ne sais pas comment l'écrire en langage mathématiques.
Il y a 1 seule possibilité pour chacune des 6 premières questions, 3 possibilités pour la 7ème question et à nouveau 3 possibilités pour la 8ème question.
Donc la réponse est $1^6*3^2$, c'est à dire 9.
Tu considères peut-être que ce n'est pas très mathématique comme langage... C'est pourtant ce langage là qui est idéal.
Il n'y a pas d'ordre donc j'utilise les combinaisons
(n)=. n!
k ____________________
k! (n-k)!
( 8 ) = 8!
6 ___________________. = 28
6! ( 8-6) !
Donc il y a 28 cas où le candidat réponds correctement a exactement 6 questions. Est ce juste ?
Ici, tu es 'rassuré' parce que tu as vu que c'était des 'combinaisons'.
Mais dans les exercices de dénombrement, il faut souvent combiner plusieurs formules du cours. C'est rarement une et une seule formule du cours qui donne la réponse.
Dans la question 2, on demandait ... quelque chose. La question 3, c'est la suite de la question 2, c'est une extension de la question 2. Peut-être même que tu dois réutiliser le résultat de la question 2 pour faire la question 3.
Donc en fait cela revient au même car dans les deux question le candidat a six bonne réponse donc pour la troisième question le résultat est le même que pour la question deux c'est-à-dire 9 ?
Tu vois bien que dans la question 2, on limite beaucoup le nombre de cas : on veut que le candidat ait 6 bonnes réponses (comme pour la question 3), mais on impose en plus que les 6 bonnes réponses soient précisément les réponses aux 6 premières questions.
Donc la réponse ne peut pas être la même pour la question 2 et pour la question 3.
Mais tu n'exploitais pas l'autre information : 4 réponses possibles à chaque question.
On choisit 6 questions parmi 8, indépendamment de l'ordre (Q4 juste et Q5 juste est identique à Q5 juste et Q4 juste) et sans répétition (on ne tire pas Q4 juste et Q4 juste). C'est donc une combinaison.
Pour chacun de ces choix (donc multiplication), la réponse juste est obligatoire pour les 6 questions (donc 1 seul cas), et les 2 questions restantes ont 3 choix chacune.
Quantité de feuilles de réponses différentes : $C_8^6*1^6*3^2$
Est-ce plus clair ?
J'ai calculé le nombre de cas où le candidat répond correctement à exactement six questions donc d'après la question précédente c'est 252 puis après j'ai calculer le nombre de cas où le candidat réponds correctement a exactement 7 question puis j'ai fait ça avec huit questions ce qui m'a donné :
C86 * 16 * 32. +. C87. *. 17. *. 31. +. C88 * 18
= 252 + 24 + 1 = 277
Il y a donc 277 cas où le candidat réponds correctement à au moins six questions.
est-ce que c'est ça ?
Pour la question 4, attention de ne pas compter 1 cas deux fois.
Ton raisonnement est juste.
Par contre, dans la combinaison, le gros nombre est en indice et le petit en exposant. $C_n^p$, c'est p parmi n. Tu as écrit l'inverse.
Pour la question quatre je ne comprends pas comment je pourrais compter en cas deux fois pouvez-vous m'expliquer ?
Et encore, je ne parle pas de VVVVVV?? et VVVVV?V? qui ont en plus des cas comme VVVVVVVF en commun. Le raisonnement que je viens de citer aurait compté deux fois le même cas.
Le chevauchement, c'était pour la question 4.
Tu as habilement évité le chevauchement en obligeant les questions non-justes à être fausses, et pas indéterminées.
L'indétermination est le piège. Car une réponse obligatoirement juste, et une réponse indéterminée qui finit par être juste, sont le même cas.
J'ai fait 277 / 65 536 ce qui donne 4,23*10-3 % de chance qu'il soit reçu
Quand tu dis "4,23*10-3 %", il y a 2 zéros en trop. Ils sont contenus dans le "%" ou dans le nombre avant. Il faut corriger.
Sinon, ça me paraît juste.
Pour la partie 'combinatoire', c'est bon.