Dénombrement (DM)

loulou290 · October 2020

Bonjour, j'ai un devoir maison à faire pour la rentrée sur le dénombrement.

SUJET
Un questionnaire à choix multiples (Q.C.M.) est constitué de 8 questions. Pour chacune d'elles, 4 réponses sont proposées dont une seule est exacte. Un candidat répond au hasard.
1. Déterminer le nombre de réponses possibles à ce Q.C.M.
2. Déterminer le nombre de cas où les réponses du candidat aux six premières questions sont exactes et fausses aux deux autres.
3. Déterminer le nombre de cas où le candidat répond correctement à exactement six questions.
4. Déterminer le nombre de cas où le candidat répond correctement à aux moins six questions. En déduire la probabilité que le candidat soit reçu si on lui demande de donner au moins six bonnes réponses.

MES REPONSES.
1. Card (E) = Card (questions) * Card (réponses) = 8 * 4 = 32
2. 1 parmi 1 * 6 + 1 parmi 3 * 2 = 6 + 3 * 2 = 12
3. 6 parmi 8 = 28
4. 6 parmi 8 + 7 parmi 8 + 8 parmi 8 = 28 + 8+ 1 = 37
Merci d'avance.

Math Coss · October 2020

La première réponse est fausse. Imagine que tu n'aies que deux questions et trois réponses possibles à chaque question. Peux-tu écrire ici la liste complète des réponses ?

Par exemple, on peut noter 13 le questionnaire où on donne la réponse 1 à la première question et la réponse 3 à la deuxième.

Edit : titre en minuscules.

ev · October 2020

Orthographe hazardeuse.

e.v.

nicolas.patrois · October 2020

Tu as plus de cas favorables à la question 4 que de cas possibles à la question 1.
Il y a un truc qui cloche là-dedans, tu devrais y retourner immédiatement.

loulou290 · October 2020

Donc ça fait

VF. VF VV FF. FF. FV. FF FF FV Donc 9 possibilités ?

nicolas.patrois · October 2020

Ça dépend.
Tu tiens compte du fait qu’il y a trois réponses fausses ou pas ?

loulou290 · October 2020

Non j'ai fait avec au moins une réponse de juste

lourrran · October 2020

Regarde tes réponses :
Question 1 : 32
Question 4 : 37
Je résume : il y a en tout 32 possibilités, et parmi ces 32 possibilités, il y en a 37 où le candidat a au moins 6 bonnes réponses.

loulou290 · October 2020

Comment faut il que je fasse du coup ? Merci

lourrran · October 2020

Il faut que tu fasses des phrases.
A la question 3 par exemple, quand tu réponds 6 parmi 8 ... ce n'est pas une phrase.
Si tu t'efforces de faire une phrase, avec sujet-verbe-complément, tu vas t'efforcer à réfléchir, à reformuler le problème. Et tu vas dire des choses un peu moins fausses que ce que tu dis pour l'instant.

Moi, quand tu me dis 6 parmi 8 ... tu me parles chinois.
Donne une phrase où une justification qui pourrait être comprise par n'importe qui.

Dom · October 2020

C’est ça !
Faire des maths n’est pas donner des réponses, même brillantes, mais convaincre tout le monde et d’abord soi-même que la réponse apportée est incontestable. Ça a plus de classe d’ailleurs.

gerard0 · October 2020

Bonjour Loulou290.

Ce serait bien de faire déjà la question 1, qui est de niveau fin de collège. Et est encore une application immédiate d'un cours de base sur les dénombrements. Alors, combien de réponses différentes possibles ?

Cordialement.

loulou290 · October 2020

Bonjour

Il y a 65 536 possibilités

J'ai utilisé le théorème qui dit: Soit E ensemble fini tel que Card(E)=p où p est un entier naturel. Pour tout entier n supérieur ou égal à 1 : le nombre de n-uplets de E est égal à P puissance n autrement dit Card (E puissance n) = p puissance n

Donc Card (E) = 4 donc Card ( E puissance 8) = 4 puissance 8 = 65 536

Merci de m'indiquer si c'est bon

lourrran · October 2020

4^8 pour la 1ère question : oui, c'est bon.

La question 2 est une application de la même règle ? ou pas ?
Que proposes-tu pour cette 2ème question, sachant que ce que tu avais mis dans ton 1er message était faux.

PetitLutinMalicieux · October 2020

Bonjour

"Il y a un truc qui cloche là-dedans, tu devrais y retourner immédiatement."
Je salue l'amateur de Boris Vian ;-)

@loulou290
Attache-toi à te demander, à chaque fois, si tu tires dans l'ordre (ou indépendamment de l'ordre), et avec répétition (ou sans répétition). Ce sera un bon défrichage.

loulou290 · October 2020

Merci pour vos retours.

Je ne sais pas exactement comment m'y prendre.

Je sais qu'il y a 1 chance sur 4 d'avoir la bonne réponse et 3/4 d'avoir une mauvaise

Questions 1 2 3 4 5 6 7 8
Réponses V V V V V V F F F FFF

Donc 3*3 = 9. (les 3 corespondent aux F )
Donc il y a 9 cas où les réponses du candidat aux six premières questions sont exactes et fausses aux deux autres.

Je ne sais pas si c'est juste, si ça l'est je ne sais pas comment l'écrire en langage mathématiques.

lourrran · October 2020

Déterminer le nombre de cas où les réponses du candidat aux six premières questions sont exactes et fausses aux deux autres.

Il y a 1 seule possibilité pour chacune des 6 premières questions, 3 possibilités pour la 7ème question et à nouveau 3 possibilités pour la 8ème question.
Donc la réponse est $1^6*3^2$, c'est à dire 9.

Tu considères peut-être que ce n'est pas très mathématique comme langage... C'est pourtant ce langage là qui est idéal.

loulou290 · October 2020

D'accord je comprends, merci beaucoup pour cette réponse.

loulou290 · October 2020

Pour la question 3:

Il n'y a pas d'ordre donc j'utilise les combinaisons

(n)=. n!
k ____________________
k! (n-k)!

( 8 ) = 8!
6 ___________________. = 28
6! ( 8-6) !

Donc il y a 28 cas où le candidat réponds correctement a exactement 6 questions. Est ce juste ?

lourrran · October 2020

Tu cherches trop à te raccorcher au langage mathématique. Un peu comme pour la question précédente, ou tu voulais une formulation plus mathématique.
Ici, tu es 'rassuré' parce que tu as vu que c'était des 'combinaisons'.
Mais dans les exercices de dénombrement, il faut souvent combiner plusieurs formules du cours. C'est rarement une et une seule formule du cours qui donne la réponse.

Dans la question 2, on demandait ... quelque chose. La question 3, c'est la suite de la question 2, c'est une extension de la question 2. Peut-être même que tu dois réutiliser le résultat de la question 2 pour faire la question 3.

loulou290 · October 2020

D'accord je comprends, dans la deuxième question on me demander de dire combien y avait de cas où les réponses du candidat sont exact et fausse aux deux autres et dans la troisième question on me demande de dire le nombre de cas où le candidat répond correctement à exactement six questions.
Donc en fait cela revient au même car dans les deux question le candidat a six bonne réponse donc pour la troisième question le résultat est le même que pour la question deux c'est-à-dire 9 ?

lourrran · October 2020

Non, toujours pas.
Tu vois bien que dans la question 2, on limite beaucoup le nombre de cas : on veut que le candidat ait 6 bonnes réponses (comme pour la question 3), mais on impose en plus que les 6 bonnes réponses soient précisément les réponses aux 6 premières questions.
Donc la réponse ne peut pas être la même pour la question 2 et pour la question 3.

lourrran · October 2020

Quand tu disais 28, tu exploitais (correctement) certaines données de l'exercice : 8 questions, 6 bonnes réponses à répartir parmi les 8 questions.

Mais tu n'exploitais pas l'autre information : 4 réponses possibles à chaque question.

loulou290 · October 2020

donc il faudrait que je fasse 28 * 9 c'est à dire 252 ?

PetitLutinMalicieux · October 2020

Voilà comment je rédigerais :
On choisit 6 questions parmi 8, indépendamment de l'ordre (Q4 juste et Q5 juste est identique à Q5 juste et Q4 juste) et sans répétition (on ne tire pas Q4 juste et Q4 juste). C'est donc une combinaison.

Pour chacun de ces choix (donc multiplication), la réponse juste est obligatoire pour les 6 questions (donc 1 seul cas), et les 2 questions restantes ont 3 choix chacune.

Quantité de feuilles de réponses différentes : $C_8^6*1^6*3^2$

Est-ce plus clair ?

loulou290 · October 2020

Oui je comprend mieux donc on est d'accord que le résultat est 252

loulou290 · October 2020

Pour la 4e question :

J'ai calculé le nombre de cas où le candidat répond correctement à exactement six questions donc d'après la question précédente c'est 252 puis après j'ai calculer le nombre de cas où le candidat réponds correctement a exactement 7 question puis j'ai fait ça avec huit questions ce qui m'a donné :

C⁸₆ * 1⁶ * 3². +. C⁸₇. *. 1⁷. *. 3¹. +. C^8₈ * 1⁸
= 252 + 24 + 1 = 277

Il y a donc 277 cas où le candidat réponds correctement à au moins six questions.
est-ce que c'est ça ?

PetitLutinMalicieux · October 2020

Oui. Nous sommes d'accord pour la question 3.

Pour la question 4, attention de ne pas compter 1 cas deux fois.

PetitLutinMalicieux · October 2020

(nos derniers posts se sont croisés.)

Ton raisonnement est juste.

Par contre, dans la combinaison, le gros nombre est en indice et le petit en exposant. $C_n^p$, c'est p parmi n. Tu as écrit l'inverse.

loulou290 · October 2020

Merci.

Pour la question quatre je ne comprends pas comment je pourrais compter en cas deux fois pouvez-vous m'expliquer ?

PetitLutinMalicieux · October 2020

Si tu te dis "Je sais tirer 6 questions dont la réponse est obligatoire pour être juste, et les 2 autres questions sont libres (donc 4 réponses possibles)". Ce raisonnement est faux. Car VVVVVV?? et VV??VVVV se chevauchent. Ils ont en commun VVVVVVVV.

Et encore, je ne parle pas de VVVVVV?? et VVVVV?V? qui ont en plus des cas comme VVVVVVVF en commun. Le raisonnement que je viens de citer aurait compté deux fois le même cas.

loulou290 · October 2020

Donc ce n'est pas 252 c'est moins ? Mais je ne comprend pas comment je pourrais calculer sans avoir de cas identique ou qui se chevauche.

PetitLutinMalicieux · October 2020

252, c'est la question 3.
Le chevauchement, c'était pour la question 4.

Tu as habilement évité le chevauchement en obligeant les questions non-justes à être fausses, et pas indéterminées.
L'indétermination est le piège. Car une réponse obligatoirement juste, et une réponse indéterminée qui finit par être juste, sont le même cas.

loulou290 · October 2020

D'accord merci je comprend pour la deuxième partie de la question quatre :

J'ai fait 277 / 65 536 ce qui donne 4,23*10^-3 % de chance qu'il soit reçu

PetitLutinMalicieux · October 2020

Attention à la façon d'écrire les choses. 0.004, c'est 4 millièmes, donc 4 pour mille, donc 0.4 pourcent, 0.4%.
Quand tu dis "4,23*10-3 %", il y a 2 zéros en trop. Ils sont contenus dans le "%" ou dans le nombre avant. Il faut corriger.

Sinon, ça me paraît juste.

lourrran · October 2020

Le symbole % revient à faire une division par 100 ... donc soit tu écris que la probabilité est $4.23*10^{-3}$ ou encore 0.00423 (sans le symbole %), soit tu écris qu'elle est 0.423% , mais pas 0.00423% comme tu as fait.

Pour la partie 'combinatoire', c'est bon.

loulou290 · October 2020

D'accord je vais faire attention à ça. En tout cas merci beaucoup de m'avoir aidé.

Dénombrement (DM)

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