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Combinaison et arrangement d'objets distincts

Envoyé par Dragonyr2 
Combinaison et arrangement d'objets distincts
il y a cinq mois
Bonjour, je ne comprends pas comment trouver la réponse à cette question.

De combien de façons différentes peut-on aligner 4 hommes et 3 femmes si 3 femmes doivent être séparées ?

La réponse à la question et censée être 1440. mais il n'y a aucune démarche.
Merci pour vos réponse (s'il y en a).



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq mois et a été effectuée par AD.
GG
Re: arrangement de combinaison d'objets distincts
il y a cinq mois
Salut ! La première idée qui vient à l'esprit, c'est de compter séparément les alignements qui finissent par un homme, par exemple

(fh) h (fh) (fh)

de ceux qui finissent par une femme, par exemple

h (fh) h (fh) f

On voit alors qu'il y a autant de situations du premier cas qu'il y a de combinaisons de f couples (fh) parmi h places possibles, les couples comptant pour une place, ainsi que les hommes isolés, et autant de situations du second cas qu'il y a de combinaisons de f-1 couples parmi h places possibles.
Comme chaque situation correspond à h! f! alignements concrets, on a donc

(Chf + Chf-1) h! f! = (C43 + C42) 4! 3! = 1440 alignements.

P.S. Je remarque que comme Ch+1f = Chf + Chf-1, la réponse est aussi Ch+1f h! f! Et effectivement, si l'on rajoute un h aux situations, leur nombre est bien le nombre de combinaisons de couples (fh) parmi h+1 places possibles ! Les deux exemples donnés :

fhhfhfh
hfhhfhf

deviennent :

(fh) h (fh) (fh) h
h (fh) h (fh) (fh)



Edité 4 fois. La dernière correction date de il y a cinq mois et a été effectuée par GG.
Re: arrangement de combinaison d'objets distincts
il y a cinq mois
Bonjour,

Variante :
On regarde d'abord la façon d'aligner 4 lettres h et 3 lettres f en respectant la contrainte.
Les 3 lettres f sont les séparations de 4 tiroirs où on doit ranger les quatre chaussettes h.
On impose d'avoir au moins une chaussette dans le 2e et le 3e tiroir : fhfhf
Il n'y a plus qu'à ranger les deux chaussettes restantes dans les quatre tiroirs : nombre de combinaisons avec répétition $C_5^2 = 10$, qui est le nombre de suites de 5 lettres dont 3 f et 2 h.

Ensuite on a le choix de l'ordre dans le paquet de 4 hommes, et dans le paquet de 3 femmes.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq mois et a été effectuée par AD.
Re: Combinaison et arrangement d'objets distincts
il y a cinq mois
C'est le même problème qu'une ligne (1,1,1), ou colonne, dans un nonogram ou picross.
À 5 places, la position serait contrainte. fhfhf.
À 6 places, il faut trouver le trou parmi 4 places possibles.
À 7 places, il faut trouver 2 trous parmi 4, indépendamment de l'ordre et avec répétition. $\Gamma_4^2=C_5^2=10$

Avec cet énoncé, le dénombrement s'arrête là.

Mais s'il s'agit de personnes réelles qu'il faut placer, alors on mettra les 4 hommes dans l'ordre (4!) et les 3 femmes dans l'ordre (3!).
D'où le 1440 (=10*24*6) annoncé au début.
Re: Combinaison et arrangement d'objets distincts
il y a cinq mois
GaBuZoMeu écrivait :
-------------------------------------------------------
> Il n'y a plus qu'à ranger les deux chaussettes restantes dans les quatre tiroirs : nombre de
> combinaisons avec répétition $C_5^2 = 10$

PetitLutinMalicieux écrivait :
-------------------------------------------------------
> À 7 places, il faut trouver 2 trous parmi 4, indépendamment de l'ordre et avec répétition.
> $\Gamma_4^2=C_5^2=10$

Assez ressemblant. winking smiley



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq mois et a été effectuée par AD.
Re: Combinaison et arrangement d'objets distincts
il y a cinq mois
cool smiley Merci pour toutes vos réponses j'espère que je ne vous ai pas ennuyé avec ce genre de problème.
Merci encore une fois et j'utiliserai toutes vos démarches.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq mois et a été effectuée par AD.
Re: Combinaison et arrangement d'objets distincts
il y a cinq mois
avatar
Salut.

Comme je comprends pas trop les méthodes proposées ($\Gamma_4^2=C_5^2=10$ ? Est une formule de combinatoire que je ne connais pas ?),
je propose une autre variante de comptage qui donne : $A_7^7 - A_5^5 \times A_3^3 - A_4^4\times A_3^2\times 20 = 7! - 5!\times 3! - 4!\times 3!\times 20$.
On prend en fait toutes les permutations possibles de $[h_1, h_2, h_3, h_4, f_1, f_2, f_3]\,\rightarrow\,A_7^7$, d'où on enlève :
toutes les permutations possibles de $[h_1, h_2, h_3, h_4, \{f_1, f_2, f_3\}]\,\rightarrow\,A_5^5 \times A_3^3$, car chaque permutation de $\{f_1, f_2, f_3\}$ est une élément dans le groupe de 5 et,
les cas dont pour toute permutation de $[h_1, h_2, h_3, h_4]$ et tout arrangement de $2$ éléments parmi $[f_1, f_2, f_3]$ correspond des positions convenables pour le troisième élément de $[f_1, f_2, f_3]$ restant $\rightarrow 4!\times 3!\times 20$.
(On voit que ce dernier terme est aussi égal à $3!(6!- 2\times 5!)$ si on pense au raisonnement avec les anagrammes).

$7! - 5!\times 3! - 4!\times 3!\times 20 = 5040 - 720 - 2880 = 1440$.

''Dans un point, il n'y a pas de matière, donc il y a de l'esprit, et que de l'esprit.''
Re: Combinaison et arrangement d'objets distincts
il y a cinq mois
"($\Gamma$24=C25=10 ? Est une formule de combinatoire que je ne connais pas ?), "
C'est le fameux 4ème cas, qui, prétendument, n'arrive jamais : la combinaison avec répétition.

Avec ou sans ordre, avec ou sans répétition, donnent les 3 cas connus (combinaison, arrangement, p-liste), ET la combinaison avec répétition (pas d'ordre mais répétition).

Exemple : Tu dois ranger 7 objets identiques dans 3 boîtes. Combien de répartitions possibles ?
Une fois que l'objet est dans la boîte, on se moque de son rang (premier, deuxième, etc). Il n'y a pas d'ordre.
De plus, on a plus d'objets que de boîtes. Donc la répétition est nécessaire.
On choisit donc 7 boîtes parmi 3, indépendamment de l'ordre et avec répétition. C'est une combinaison avec répétition : $\Gamma_3^7$
Or, une formule toute simple dit que $\Gamma_n^p=C_{n+p-1}^p$.
Donc il y a $\Gamma_3^7=C_9^7=C_9^2=36$ répartitions possibles.

Autre example : 9 objets dans une boîte : $\Gamma^9_1=C_9^9=1$. Il y a bien qu'une seule façon de tout mettre dans une seule boîte.

Autre example : les dominos. On tire 2 numéros parmi 7, indépendamment de l'ordre (6-2 est le même domino que 2-6) et avec répétition (double 6 commence), c'est donc une combinaison avec répétition. il y a $\Gamma_7^2=C_8^2=28$ dominos différents.

Subtilité à noter : Si tu répartis 8 personnes en 2 groupes, chaque personne doit choisir un groupe et on a donc une p-liste soit $2^8=256$ constitutions possibles. Mais si tu t'intéresses à la structure des groupes, c'est une combinaison avec répétition. Il y a $\Gamma_2^8=C_9^8=9$ structures possibles. (0-8; 1-7; 2-6; 3-5; 4-4; 5-3; 6-2; 7-1; 8-0)



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq mois et a été effectuée par PetitLutinMalicieux.
Re: Combinaison et arrangement d'objets distincts
il y a cinq mois
avatar
**Le calcul numérique est à corriger dans le premier exemple.
C'est vrai que je ne la connaissais pas celle-là.
Merci du cours @PLM
Re: Combinaison et arrangement d'objets distincts
il y a cinq mois
C'est corrigé. Ça aurait dû me choquer puisque le numéro en exposant changeait. smiling smiley



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq mois et a été effectuée par AD.
Re: Combinaison et arrangement d'objets distincts
il y a cinq mois
avatar
Re: Combinaison et arrangement d'objets distincts
il y a cinq mois
babsgueye écrivait : [www.les-mathematiques.net]
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
-------------------------------------------------------

Salut tu peux m'expliquer d' vient le 20 dans 3!x4!x20.



Edité 4 fois. La dernière correction date de il y a cinq mois et a été effectuée par AD.
Re: Combinaison et arrangement d'objets distincts
il y a cinq mois
avatar
Bonjour
Le $4!$ c'est les permutations des 4 éléments $[h_1, h_2, h_3, h_4]$ (exemple $[h_2, h_3, h_1, h_4]$ en est une).
Le $3!$ c'est les arrangements de $2$ parmi $[f_1, f_2, f_3]$ (exemple $(f_3, f_1)$ en est une)
Regarde pour ce cas d'exemple.
Pour chacune des $5$ positions possibles de $(f_3, f_1)$ dans $[h_2, h_3, h_1, h_4]$ (en l'occurrence $[\bullet h_2\bullet h_3\bullet h_1\bullet h_4\bullet]$ ), il reste $4$ positions possibles pour $f_2$, $\rightarrow\, 5\times 4 = 20$.
J'espère que c'est assez clair pour toi.

''Dans un point, il n'y a pas de matière, donc il y a de l'esprit, et que de l'esprit.''



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq mois et a été effectuée par babsgueye.
Re: Combinaison et arrangement d'objets distincts
il y a cinq mois
Oui,c'est clair maintenant merci.
grinning smiley



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq mois et a été effectuée par AD.
Re: Combinaison et arrangement d'objets distincts
il y a quatre mois
Je réfléchissais à la différence entre une disposition en fonction du genre (10 cas) et une disposition des personnes (1440), quand je me suis posé la question : Qu'en est-il d'une table ronde ?

Généralement, pour chaque ordre en ligne, il existe un autre ordre qui est la permutation circulaire du premier. Donc on divise le dénombrement par le nombre de convives, et c'est gagné.

Et là, stupeur. 1440 n'est pas divisible par 7. Il y a un problème.
Effectivement, les femmes sur les bords ne doivent pas supporter la permutation circulaire. Ce n'est donc pas deux hommes qu'on place parmi 4, mais 1 homme sur le bord (gauche ou droit), et l'autre homme qui prend sa place parmi 3 (l'ancienne 4ème place étant la même que la première). $\Gamma_3^1=C_3^1=3$.

Et là, rebelote, stupeur. 10-3=7 et quand on va diviser par 7 (le nombre de convives), on va trouver 1. Ce n'est donc pas la peine de se prendre la tête. Il n'y a qu'une seule façon de placer hommes et femmes sur une table circulaire.

Après, on met les hommes dans l'ordre et les femmes dans l'ordre comme avant (4!3!=144).
C'est la dissymétrie du partage 4-3 qui assure l'absence de redondance.
Re: Combinaison et arrangement d'objets distincts
il y a quatre mois
avatar
Bonjour.
J'ai essayé de voir si c'était une coïncidence que $144 = \dfrac{1440}{10}$ donne le bon compte.

Et :
Citation
PLM
..une disposition en fonction du genre (10 cas) ..

Là je ne vois que 9 cas.

Puis :
Citation
PLM
Il n'y a qu'une seule façon de placer hommes et femmes sur une table circulaire.

Là je pense que tu n'a pas numéroté les tables, mais tu as raisonné en terme de voisinage (ce n'est pas ce qu'on a fait quand on dit qu'il y a 9 cas en considérant le genre dans le cas de l'alignement).

Mais alors, si les tables sont numérotées quel sera le nombres de dispositions possibles ?
Ou alors pour le cas de l'alignement, si on ne raisonne qu'en terme de voisinage, quel sera le bon compte ?

''Dans un point, il n'y a pas de matière, donc il y a de l'esprit, et que de l'esprit.''
Re: Combinaison et arrangement d'objets distincts
il y a quatre mois
Alignés :
hhfhfhf
hfhhfhf
hfhfhhf
hfhfhfh
fhhhfhf <----
fhhfhhf <----
fhhfhfh
fhfhhhf <----
fhfhhfh
fhfhfhh
10 cas. Les 3 cas fléchés sont les cas qui ne marchent pas sur une table ronde.
À chaque fois, on part de fhfhf et ajoute les 2 hommes parmi 4 positions possibles (délimitées par les femmes).

En rond :
hfhfhfh
Seul cas dénombré. Il suffit de faire tourner les autres cas pour retomber sur celui-ci.

Je ne comprends pas l'objection du numérotage des tables.
Re: Combinaison et arrangement d'objets distincts
il y a quatre mois
avatar
En fait t'as raison, c'est le plus simple hfhfhfh que j'avais pas vu. Rigoureusement, ça revient au mème de numéroter ou de raisonner en terme de voisinage pour le cas de l'alignement.

Mais pour la table ronde, je dis pas que c'est faux ; cela dépend de ce qu'on cherche à faire, mais j'ai comme l'impression que dans ton calcul, les hommes d'un coté et les femmes d'un autres coté occupent toujours les mêmes places.

En fait j'aurais préféré considérer les autres cas et multiplier par $7$.

''Dans un point, il n'y a pas de matière, donc il y a de l'esprit, et que de l'esprit.''



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par babsgueye.
Re: Combinaison et arrangement d'objets distincts
il y a quatre mois
Je considère que toutes les configurations ci-dessous sont identiques. Donc même si tu recenses à partir de midi, ta description de la situation sera différente (à chaque septième de tour). Mais la réalité de la situation sera la même.


Re: Combinaison et arrangement d'objets distincts
il y a quatre mois
avatar
Sauf si la table est composée de fauteuil(s), de chaise(s) en bois, de banc(s) en pierres et que sais-je encore !
Certains invités seront toujours ou souvent plus confortables que d'autres ; c'est pas équitable parce que tous les cas possibles ne sont pas décrits.
Certains ne feront jamais face à cet œuvre d'art accroché au mur...( la table elle-même, ne tourne pas)
Re: Combinaison et arrangement d'objets distincts
il y a quatre mois
Oui. C'est recevable. Il y a 1, 10, 144, 1008 (=144*7), 1440.
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