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Une urne et des boules

Envoyé par Mirsay 
Une urne et des boules
il y a quatre mois
Bonjour,
Y aurait-il une âme charitable pour m'aider à résoudre l'exercice suivant.

Dans une urne de 20 boules numérotées de 1 à 20. On tire une par une 7 boules sans remise. Quels sont les proba suivantes.
1) P[le troisième tirage donne la boule numéro 19].
2) P[il y a exactement deux boules de numéros pairs].
3) P[tous les numéros pairs du tirage sont dans leur ordre naturel].

Merci beaucoup d'avance !



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par AD.
Re: Une urne et des boules
il y a quatre mois
avatar
Bonjour Mirsay,
Ce n'est pas la charité qui me motive.

Je ne sais pas comment on enseigne les proba actuellement.
La première question me parait intéressante.
Si tu tires les boules sans remise, faut déjà pas tirer le 19 en première boule, ni en deuxième, puis le tirer en troisième

Aux cours de ces trois tirages, combien de choix sont possibles pour chacun, Combien favorables ?

Deuxième question : tu peux d'abord calculer la proba d'avoir dans l'ordre P,P,I,I,I,I,I .
Ce calcul conduira aussi à une réflexion intéressante.

@ suivre.
Amicalement. jacquot



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par AD.
Re: Une urne et des boules
il y a quatre mois
avatar
Pour la 1ère question, on peut voir l'exercice de façon plus simple.

Quelle est la probabilité que la 3ème boule tirée porte le n°19 ? Soit p cette probabilité, on ne la connaît pas, mais peu importe.
Quelle est la probabilité que la 3ème boule tirée porte le n°18 ? On ne sait pas, mais ...
Quelle est la probabilité que la 3ème boule tirée porte le n°17 ? On ne sait pas, mais ...
Quelle est la probabilité que la 3ème boule tirée porte le n°16 ? On ne sait pas, mais ...

Etc ... et on doit pouvoir conclure si on est un peu réveillé.

La question 2 est beaucoup plus compliquée que la 1.
Et la question 3 est beaucoup plus compliquée que la 2 !

Bel exercice, bien gradué.
P.
Re: Une urne et des boules
il y a quatre mois
Le nombre de parties de taille $k$ dans un ensemble de taille $n$ est $C^k_n=n!/((n-k)!k!).$ Pour la question 2, combien y a-t-il de parties de $\{1,\ldots,20\}$ et de taille $7$ qui comprennent 2 numeros pairs exactement? Reponse $C^2_{10}\times C^5_{10}.$ Reponse a la question 2 : $p_2=C^2_{10}\times C^5_{10}/C^7_{20}.$



Pour la question 3, quelle est la probabilite de tirer deux numeros pairs exactement et dans l'ordre croissant? reponse $p_2/ 2.$ Plus generalement quelle est la probabilite $p_k$ de tirer $k$ numeros pairs exactement ? Reponse :$p_k=C^k_{10}\times C^{7-k}_{10}/C^7_{20}.$ Quelle est la probabilite de tirer $k$ numeros pairs exactement et dans l'ordre croissant? reponse $p_k/ k!$ Enfin, question 3 : quelle est la probabilite de tous les numeros pairs tires soient dans l'ordre croissant? Reponse : $\sum_{k=0}^7????$



Edit: merci a ceux qui m'ont rappele qu'il fallait diviser et non multiplier par $k!$ a la question 3.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par P..
Re: Une urne et des boules
il y a quatre mois
Bonjour !

Merci énormément pour votre réponse j'étais parti dessus pour vos réponses sur le questions 2 et 3 mais la question 1 il me semblait être un arrangement sans remise donc:
$ A_{7}^{20} * A_{6}^{19} * A_{5}^{18} $ ??

Merci aux autres pour vos réponses !
Re: Une urne et des boules
il y a quatre mois
avatar
Bonjour Mirsay,
Pour les arrangements, je crois que l'on écrit le grand nombre en bas, du genre $A^7_{20}$ mais je ne comprends pas ta multiplication.

Si tu veux raisonner en termes d'arrangements, $A^7_{20}$ est le cardinal de l'univers ou nombre de cas possibles. Dans ce cas, il te reste à calculer correctement le nombre de cas favorables:
La première boule n'est pas le n°$19$ la deuxième non plus, mais la troisième.

Ce que je te proposais est plutôt basé sur les proba conditionnelles:
quelle est la proba d'avoir 19 au troisième tirage si on ne l'a pas au premier et pas au deuxième. C'est un calcul qui me paraît plus naturel, mais il faut que toi tu choisisses tes modèles, ceux que tu comprends bien, en évitant de vouloir appliquer des formules toutes faites...
Re: Une urne et des boules
il y a quatre mois
avatar
Pour la question 1, je vais reformuler la question.
Question 1a) La probabilité d'obtenir 19 à la 3ème boule est-elle la même que la probabilité d'obtenir 18, ou bien supérieure, ou bien inférieure ?
Question 1b) en déduire la probabilité d'obtenir 19 à la 3ème boule.
Re: Une urne et des boules
il y a quatre mois
Bonjour

Pour la question 1, je garde le raisonnement de Lourran. Pour quelle obscure raison la boule 19 serait-elle différente des autres smiling smiley ?

Pour la question 2, je choisis 2 boules chez les pairs sans ordre, et 5 boules chez les impairs sans ordre, et je mets ces 7 boules dans l'ordre pour avoir le nombre de tirages favorables possibles.

Pour la question 3, je considère les 20 boules ordonnées, et j'en supprime 13 sans ordre, ni répétition, pour avoir le nombre de tirages favorables.

Bonne chance.
Re: Une urne et des boules
il y a quatre mois
avatar
Salut.
@P., je pense que ton raisonnement pour la question 2 marche (on peut ne pas s'occuper de l'arrangement). Mais pour la question 3, il faut diviser par $2$ au lieu de multiplier.

Pour la question 1, les raisonnements de @jacquot et @lourrran sont simples à appliquer et te donnent $\frac{1}{20}$ ! Maintenant va comprendre

''Dans un point, il n'y a pas de matière, donc il y a de l'esprit, et que de l'esprit.''
Re: Une urne et des boules
il y a quatre mois
avatar
Pour la question 1, la méthode de Jacquot dit : pour que le 19 sorte en 3ème position, il faut qu'il ne sorte ni en 1ère position, ni en 2ème, puis il faut qu'il sorte en 3ème position, quand il ne reste que 18 boules.
On fait un calcul etc etc.
Et Dieu merci, le résultat qu'on obtient est le même que via l'autre raisonnement.


Pour cette question 1, Mirsay, on demande une probabilité. Donc un nombre entre 0 et 1.
Tu proposes A(20,7)*A(19,6)*A(18,5) : Ce nombre n'est pas entre 0 et 1. Il ne peut donc pas être bon.
Re: Une urne et des boules
il y a quatre mois
Ah ! J'avais zappé le mot "pairs" dans la question 3. Du coup, la question devient compliquée. Je choisis le nombre de pairs, les places des pairs, les boules dans les places des pairs, et les nombres impairs restants ordonnés.

$\displaystyle \sum_{k=0}^7 C_7^k C_{10}^k A_{10}^{7-k} = 66716700$



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par PetitLutinMalicieux.
Re: Une urne et des boules
il y a quatre mois
Bonsoir,
question 3.
La probabilité $p_k$ que le tirage contienne $k$ pairs exactement est $\frac {\binom{10}{k}\binom{10}{7-k}}{\binom{20}{7}}$. La probabilité que, de plus, les $k$ nombres pairs soient dans l'ordre est donc $\frac{p_k}{k!}$. La réponse est donc la somme des $\frac{p_k}{k!}$ de $k=0$ à $7$.

Amicalement
Coucou Jacquot
Paul



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par AD.
Re: Une urne et des boules
il y a quatre mois
Merci énormément pour vos réponses et excusez moi de ma maladresse à ce niveau enfaite je ne me suis pas relu pour répondre à Jacquot et Lourrran j'ai procéder ainsi pour la question 1:

J'ai pris la négation de la 1) Soit Pcomplementaire[Le troisième tirage ne donne pas la boule 19] donc:

Pcompl = $A_{20}^7+A_{19}^6+A_{18}^5$ / $A_{20}^7$ et donc P= 1-Pcompl ???

Merci encore pour votre savoir ça m'a beaucoup aider !
Cdlt
Re: Une urne et des boules
il y a quatre mois
avatar
Pour la question 1, la probabilité que la boule qui sort en n°3 soit la boule n° 19 vaut ... disons x. J'ai la flemme de calculer x.
La probabilité que la boule qui sort en n°3 soit la boule n°20 vaut combien ? Egalement x.
Et pour la boule n°18, c'est combien ? Egalement x.
Pour chacune des boules, la probabilité que cette boule sorte en n°3 vaut ce nombre x.

Et la somme de ces 20 probabilités vaut combien ? Elle vaut 1.
Donc x vaut 1/20.
Re: Une urne et des boules
il y a quatre mois
Je suis d'accord mais si au premier tirage on a directement la boule numéro 19 ?
c'est sans remise donc comment on pourrait avoir au troisième tirage a nouveau toutes les possibilités ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par Mirsay.
Re: Une urne et des boules
il y a quatre mois
"Je suis d'accord mais si au premier tirage on a directement la boule numéro 19 ? "
Eh bien, on l'a eu au premier tirage, donc elle ne va pas sortir au troisième. Pourquoi poser cette question qui ne correspond pas au problème ? La question est la probabilité qu'elle sorte au troisième tirage. On se moque de ce qui pourrait se passer d'autre.

Cordialement.
Re: Une urne et des boules
il y a quatre mois
Je dis ça car pourquoi avoir comme proba 1/20 pour la boule numéro 19 car au bout du troisième tirage on a retiré 2 boules donc ils n'en restent plus que 18 et pas 20 car c'est sans remise donc la proba serait donc 1/18 ??
Je ne comprends pas trop la logique derrière ça

Cdlt



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par Mirsay.
Re: Une urne et des boules
il y a quatre mois
On voit que tu n'as pas fait le calcul de la probabilité à priori d'avoir la 19 au troisième tirage. Alors que l'indication t'a été donnée explicitement par Jacquot, puis reprise par Lourran.

Quand tu as tiré les deux premières boules et qu'elles ne sont pas la 19, la probabilité de tirer la 19 est 1/18, bien sûr. Mais ça n'est pas la question qui t'es posée. Normal qu'on n'obtienne pas 1/18. Il faut apprendre à faire la différence entre probas simples et probas conditionnelles.
Allez, prends le temps de faire un arbre des possibles sur les trois premiers tirages, avec à chaque fois 2 branches : 19 et pas 19.

Cordialement.
Re: Une urne et des boules
il y a quatre mois
smiling bouncing smiley Haha. Je crois que tu viens de comprendre qu'au loto, on ne gagne pas à tous les coups. C'est pour cela qu'on calcule des probabilités. tongue sticking out smiley

Vois les choses autrement. Comme on tire 7 boules, il y aura forcément une troisième boule. Quelle est son numéro ? Les boules sont toutes les mêmes. Donc elles ont toutes la même chance d'être troisième. Peu importent les boules avant, les boules après, et les boules restantes. La troisième peut être 20,19,18,...,5,4,3,2,1. Donc une chance sur 20.

Dénombrer eût été difficile. Mais connaître la probabilité est facile.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par PetitLutinMalicieux.
Re: Une urne et des boules
il y a quatre mois
J'ai réussi à trouver 1/20 par le calcul de conditionnement en chaîne même si pour moi ce n'était pas directement évident:
x1="boule au 1er tirage"
x2="boule au 2e tirage"
19="boule 19 au troisième tirage"

P(19nX2nX1)=P(19|X2nX1)*P(X2|X1)*P(X1) donc de droite à gauche la probabilité de tiré un boule autre que la 19 X1 est 19/20 donc la probabilité de X2 sachant X1 est 18/19 et la probabilité d'avoir la boule 19 sachant X1 et X2 est 1/18 donc

(19/20)*(18/19)*(1/18) = 1/20.. fiou

Cldt
Re: Une urne et des boules
il y a quatre mois
avatar
19/20*18/19*1/18 ... c'est correct, et c'est certainement le raisonnement attendu dans le cadre de cet exercice.
En tout cas, c'est un raisonnement de ce type qu'il faut pour la question suivante.

Pour revenir à l'autre raisonnement, j'y tiens, on peut présenter l'exercice de façon un peu différente.

Enoncé original : On a une urne avec 20 boules, on tire une à une 7 boules sans remise.
Enoncé alternatif : on a une urne avec 20 boules, on dispose ces 20 boules en alignement sur une réglette avec 20 emplacements, numérotés de 1 à 20.

La boule n°19 sera sur l'un des 20 emplacements, de façon aléatoire. Elle a quelle probabilité d'être sur l'emplacement n°3 ?
Re: Une urne et des boules
il y a quatre mois
avatar
Oui, lourran,

Je trouvais d'emblée cette première question intéressante : le résultat doit susciter une réflexion.
Une autre expérience de pensée peut être celle-là :
je tire successivement sept boules, mais je ne regarde que la troisième. Quelle est la proba (pour) qu'elle porte le n° 19.

Amicalement. jacquot
Re: Une urne et des boules
il y a quatre mois
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Oui. En fait, comme souvent dans les questions de dénombrement, l'idée est de faire le tri entre les infos utiles et les infos inutiles.

Je tire 7 boules et je regarde la 3ème. Ok. Pourquoi avoir tiré 7 boules si tu ne regardes pas les 4 dernières.
Donc l'expérience est en fait : je tire 3 boules et je regarde la dernière. Le 7 qui est dans l'énoncé ne sert à rien. On peut le remplacer par 3, ou par 20....

Il ne sert à rien pour cette première question. Il va devenir essentiel pour les 2 autres questions.
Re: Une urne et des boules
il y a quatre mois
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L'idée est de faire comprendre que dans ce cas précis, les deux premières ne servent pas davantage winking smiley
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