2 formules de combinatoire que j'ai trouvé

AdeLaCroix · November 2020

Bonjour,
Je souhaiterais savoir si les deux formules en pièces jointes sont valides.
(Je suis au lycée donc ne connais rien en combinatoire et aux différentes formules de ce champ, donc peut-être que ces formules sont évidentes et existent déjà...)

On peut aussi noter pour la deuxième formule que si z est un entier relatif, alors l'expression est divisible par n. 113024

Poirot · November 2020

Je ne connais pas la première, mais la seconde est effectivement correcte.

Fin de partie · November 2020

La première formule ne me semble pas tout à fait exacte.

? f(n,k,i)={sum(j=0,i,(-1)^(j+1)*binomial(i,j)*binomial(n+j,k+i))};
f(13,7,4)
%1 = -1716

Mais en effet, $\displaystyle \binom{13}{7}=1716$
Si vous voulez vérifier:
https://pari.math.u-bordeaux.fr/gp.html

GaBuZoMeu · November 2020

Il y a un petit problème de signe pour la première formule. Il faut lire $(-1)^{i+j}$.

On peut l'obtenir en comptant par inclusion-exclusion le nombre de parties à $k+i$ éléments de $\{1,\ldots,n,n+1,\ldots,n+i\}$ qui contiennent $\{n+1,\ldots,n+i\}$.

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