2 formules de combinatoire que j'ai trouvé

Bonjour,
Je souhaiterais savoir si les deux formules en pièces jointes sont valides.
(Je suis au lycée donc ne connais rien en combinatoire et aux différentes formules de ce champ, donc peut-être que ces formules sont évidentes et existent déjà...)

On peut aussi noter pour la deuxième formule que si z est un entier relatif, alors l'expression est divisible par n.



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par AdeLaCroix.

Je ne connais pas la première, mais la seconde est effectivement correcte.

La première formule ne me semble pas tout à fait exacte.

? f(n,k,i)={sum(j=0,i,(-1)^(j+1)*binomial(i,j)*binomial(n+j,k+i))};
f(13,7,4)
%1 = -1716

Mais en effet, $\displaystyle \binom{13}{7}=1716$
Si vous voulez vérifier:
[pari.math.u-bordeaux.fr]

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)

Il y a un petit problème de signe pour la première formule. Il faut lire $(-1)^{i+j}$.

On peut l'obtenir en comptant par inclusion-exclusion le nombre de parties à $k+i$ éléments de $\{1,\ldots,n,n+1,\ldots,n+i\}$ qui contiennent $\{n+1,\ldots,n+i\}$.

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