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Grille et cavalier

Envoyé par kolotoko 
Grille et cavalier
il y a quatre mois
Bonjour,
soit une grille carrée d'ordre n formée de n x n cases (si n = 8 la grille est un échiquier, si n = 10 la grille est un damier ).

Combien de segments reliant deux cases selon le pas du cavalier au jeu d'échec dénombrez-vous ?
On notera f(n) ce nombre de segments.

Bien cordialement.
kolotoko



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par AD.
Re: Grille et cavalier
il y a quatre mois
avatar
En premier jet, à brûle-pourpoint, je répondrais $f(n)=4(n-1)(n-2)$.
Re: Grille et cavalier
il y a quatre mois
avatar
J'arrive à 4(n-4)(n+1)+24, c'est à dire comme bisam :)
Re: Grille et cavalier
il y a quatre mois
Bonjour

Pour tout segment [AB], il y a le déplacement de A vers B et le déplacement de B vers A. Je vais volontairement compter les segments en double et je diviserais par 2 à la fin.

On considère 3 types de zones.
  • La zone suffisamment centrale pour permettre 8 mouvements.
  • Les zones latérales permettant seulement 4 mouvements.
  • Les zones encoignées qui ne permettent que 2 mouvements.

Soit n, le nombre de cases sur le côté d'un plateau (damier, échiquier, goban, etc).
Le nombre de segments longs de $\sqrt 5$ cases est $q=\frac{8(n-4)^2+4*4*2*(n-4)+4*2*2*2}{2}=4(n-2)^2$


Re: Grille et cavalier
il y a quatre mois
avatar
Je compte ligne par ligne pour un déplacement de cavalier $(1,-2)$ en coordonnées cartésiennes :
Il y a alors $n-1$ positions de départ sur la ligne du haut et $n-2$ lignes de départ.
On multiplie par 4 le nombre de déplacements obtenus pour tenir compte des autres orientations sans qu'il y ait de doublons : il suffit de tourner 4 fois d'un quart de tour l'ensemble des positions obtenues. d'effectuer une symétrie axiale puis une rotation d'un quart de tour

Finalement : $f(n)=4(n-1)(n-2)$.

[Edit : Correction suite à une remarque pertinente de PetitLutinMalicieux]



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par bisam.
Re: Grille et cavalier
il y a quatre mois
avatar
J’ai dû m’y prendre à plusieurs fois pour comprendre ce que kolotoko demandait : le nombre d’arêtes du graphe sous-jacent.
Remarquez que ce n’est pas le même avec un chameau (page 34).

Le café est un breuvage qui fait dormir,
quand on n’en prend pas.
-+- Alphonse Allais -+-
Re: Grille et cavalier
il y a quatre mois
(1;-2) et (2;-1) relevant de la symétrie axiale, j'ai un doute sur la rotation magique.
Re: Grille et cavalier
il y a quatre mois
@Nicolas : la page 34 du pdf qui est la page 29 du document. confused smiley Faut suivre. smiling smiley
Re: Grille et cavalier
il y a quatre mois
avatar
PetitLutinMalicieux : tu as raison. J'ai voulu simplifier à l'extrême et je me suis pris les pieds dans le tapis.
Cependant, avec une symétrie axiale puis une rotation d'un quart de tour, on a le même compte et cette fois-ci pas de doublons.

Je corrige plus haut.
Re: Grille et cavalier
il y a quatre mois
avatar
@PLM
Ii y a pas mal de cases qui permettent 6 déplacements, 4 (n-4) cases en l'occurrence, les cases B3 à B6 par exemple sur un échiquier classique.
Re: Grille et cavalier
il y a quatre mois
Ah ! Je me suis trompé. Il n'y a vraiment pas 3 zones mais 6. Dans chaque coin, il y a une case à 2 mouvements, 2 cases à 3 mouvements (notez l'imparité), et une case à 4 mouvements. Et même erreur dans les parties latérales. Certaines cases ont six mouvements et non 4.

Nous sommes donc d'accord sur 4(n-1)(n-2).
Re: Grille et cavalier
il y a quatre mois
Bonjour,

on a bien f(n) = (2n - 3)2 - 1.

Pour n>3, il y a des cases à 2 mouvements, des cases à 3 mouvements, des cases à 4 mouvements, des cases à 6 mouvements et des cases à 8 mouvements.
On trouve la suite 0, 0, 8, 24, 48, 80, 120, 168, 224, 288, 360, .... pour n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...
Bien cordialement.

kolotoko



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par kolotoko.
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