Grille et cavalier
Bonjour,
soit une grille carrée d'ordre n formée de n x n cases (si n = 8 la grille est un échiquier, si n = 10 la grille est un damier ).
Combien de segments reliant deux cases selon le pas du cavalier au jeu d'échec dénombrez-vous ?
On notera f(n) ce nombre de segments.
Bien cordialement.
kolotoko
soit une grille carrée d'ordre n formée de n x n cases (si n = 8 la grille est un échiquier, si n = 10 la grille est un damier ).
Combien de segments reliant deux cases selon le pas du cavalier au jeu d'échec dénombrez-vous ?
On notera f(n) ce nombre de segments.
Bien cordialement.
kolotoko
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Réponses
Pour tout segment [AB], il y a le déplacement de A vers B et le déplacement de B vers A. Je vais volontairement compter les segments en double et je diviserais par 2 à la fin.
On considère 3 types de zones.
Soit n, le nombre de cases sur le côté d'un plateau (damier, échiquier, goban, etc).
Le nombre de segments longs de $\sqrt 5$ cases est $q=\frac{8(n-4)^2+4*4*2*(n-4)+4*2*2*2}{2}=4(n-2)^2$
Il y a alors $n-1$ positions de départ sur la ligne du haut et $n-2$ lignes de départ.
On multiplie par 4 le nombre de déplacements obtenus pour tenir compte des autres orientations sans qu'il y ait de doublons : il suffit de tourner 4 fois d'un quart de tour l'ensemble des positions obtenues. d'effectuer une symétrie axiale puis une rotation d'un quart de tour
Finalement : $f(n)=4(n-1)(n-2)$.
[Edit : Correction suite à une remarque pertinente de PetitLutinMalicieux]
Remarquez que ce n’est pas le même avec un chameau (page 34).
-- Schnoebelen, Philippe
Cependant, avec une symétrie axiale puis une rotation d'un quart de tour, on a le même compte et cette fois-ci pas de doublons.
Je corrige plus haut.
Ii y a pas mal de cases qui permettent 6 déplacements, 4 (n-4) cases en l'occurrence, les cases B3 à B6 par exemple sur un échiquier classique.
Nous sommes donc d'accord sur 4(n-1)(n-2).
on a bien f(n) = (2n - 3)2 - 1.
Pour n>3, il y a des cases à 2 mouvements, des cases à 3 mouvements, des cases à 4 mouvements, des cases à 6 mouvements et des cases à 8 mouvements.
On trouve la suite 0, 0, 8, 24, 48, 80, 120, 168, 224, 288, 360, .... pour n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...
Bien cordialement.
kolotoko