Dénombrement appliqué aux jeux de société

Tu peux regarder schéma de Bernoulli et loi binomiale dans ton moteur de recherche préféré.

Bonjour

Bernoulli donne une piste intéressante, si tu cherches une face précise. Mais dans le cas général, tu ne pourras pas faire l'économie d'un recensement des cas. On tire 10 résultats parmi 20 possibles, sans ordre et avec répétition. C'est une combinaison avec répétition. $\Gamma_{20}^{10}=20030010$
Pour les cas favorables, je cherche l'inverse : ne pas tirer 4 ou plus. Je dénombre donc les faces tirées 3 fois, les faces tirées 2 fois et celles 1 fois.

Résultat :
Total = 20030010
q = 16527910 (favorables)
proba(pas plus de 3 fois le même dé) = 0.825157351394
proba(4 fois ou plus le même dé) = 0.174842648606
Environ 17.5 %

Quelqu'un peut-il confirmer ?

C'est bien fait pour toi. En avançant des chiffres sans raisonnement, tu dis des bêtises. Ton 20^10 est un tirage dans l'ordre. Or, tu vois bien que mon calcul exclut l'ordre. Toujours. Pour le dénombrement, c'est important. Mais pour la probabilité, non. C'est la même valeur. $p=\frac C C_t = \frac A A_t$.

"2%" ? C'est au doigt mouillé ? Je préférerais que tu fasses des maths.

J'ai la liste complète des tirages possibles. Je demande confirmation en pure forme. Pour comparer.

PS: si Bernoulli est ce que tu as appliqué, alors que ce n'est pas la question, on obtient 0.1% d'avoir 4 fois ou plus la face 7 (par exemple). D'où vient ce 2 % ?

Bonsoir,

Aucune formule simple ne permet d'accéder directement à la probabilité demandée, qui requiert donc un calcul un peu laborieux.

$A$ est l'évènement : $\text{au cours des dix lancers, il est une face qui apparaît quatre fois ou plus.}$
$\forall k \in [\![1;20]\!],\:\: A_k$ désigne l'événement : $\text{la face k apparaît au moins quatre fois au cours des dix lancers.}\qquad$ Alors:
$$ \Pr (A) = \displaystyle \Pr \left( \bigcup_{k=1}^{20}A_k\right) = \sum _{k=1}^{20} \Pr(A_k) - \sum_{1\leqslant i<j\leqslant 20}\Pr (A_i \cap A_j) = 20\Pr(A_1) -\binom { 20}2 \Pr(A_1 \cap A_2).\qquad(1)$$
La probabilité de $A_1$ est donnée par la loi binomiale: avec $p =0.05, \:\: q=1-p=0.95,$
$$ \:\Pr(A_1) =1-q^{10}-10pq^9 -45 p^2q^8 -120 p^3q^7. \qquad(2)$$

Notons: $ \:\: X$ (resp. $Y)\:\:\text{le nombre d'apparitions de la face}\:\: 1\:$ (resp. $2.)$
$\Pr(A_1\cap A_2) = \Pr\Big([X=4]\cap[Y=4]\Big)+2\left(\Pr\Big([X=4]\cap[Y=5]\Big)+\Pr\Big([X=4]\cap[Y=6]\Big)\right) +\Pr\Big([X=5]\cap[Y=5]\Big)$
Avec la loi "multinomiale", et $r= 1-2p=0.9,\:$ il vient:
$$ \Pr(A_1\cap A_2) = 3150 p^8r^2 +2\Big(1260p^9 r +210 p^{10}\Big) +252 p^{10}.\qquad (3)$$
$$ (1), (2),(3) \implies \boxed{\Pr(A) = 0.0205501677344.}$$
(sous réserve d'erreur dans la manipulation de la calculatrice.)

D'accord. 1000 excuses.

À vouloir faire plus simple, j'ai fait plus faux.

Je disparais dans un trou.