Il y a deux ans, je suis tombé sur ces nombres, de façon inattendue, alors que je travaillais sur un analogue unitaire de la matrice de Redheffer.
Voici quelques résultats annexes que j'ai pu dégoter, pour lesquels je reprend la notation de Knuth $\left\{ \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right\}$ avec $k \leqslant n$.
(i)
Quelques valeurs.
$$\left\{ \begin{array}{c} n \\ 0 \end{array} \right\} = \begin{cases} 1, & \textrm{si} \ n=0 \\ 0, & \textrm{sinon} \end{cases}, \quad \left\{ \begin{array}{c} n \\ 1 \end{array} \right\} = \left\{ \begin{array}{c} n \\ n \end{array} \right\} = 1, \quad \left\{ \begin{array}{c} n \\ 2 \end{array} \right\} = 2^{n-1}-1$$
$$\left\{ \begin{array}{c} n \\ 3 \end{array} \right\} = \tfrac{1}{6} \left( 3^n - 3 \times 2^n + 3 \right), \quad \left\{ \begin{array}{c} n \\ 4 \end{array} \right\} = \tfrac{1}{6} \left( 4^{n-1} - 3^n + 3 \times 2^{n-1} - 1 \right), \quad \left\{ \begin{array}{c} n \\ n-1 \end{array} \right\} = {n \choose 2}.$$
(ii)
Formules de récurrence.
$$\left\{ \begin{array}{c} n+1 \\ k \end{array} \right\} = \left\{ \begin{array}{c} n \\ k-1 \end{array} \right\} + k \left\{ \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right\}.$$
$$\left\{ \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right\} = \sum_{j=k-1}^{n-1} {n \choose j} \left\{ \begin{array}{c} j \\ k - 1 \end{array} \right\}.$$
$$\left\{ \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right\} =\sum_{j=1}^k j \left\{ \begin{array}{c} n+j-k \\ j \end{array} \right\} \quad \left( k+1 \leqslant n \right).$$
(iii)
Expression explicite directe.
$$k! \left\{ \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right\} = \sum_{n_1 + \dotsb + n_k = n} {n \choose n_1, \dotsc,n_k}.$$
(iv)
Inégalités.
$$\left\{ \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right\} \leqslant \frac{k^{n-1}}{(k-1)!}.$$
$$\tfrac{1}{2} (k^2+k+2)k^{n-k-1} - 1 \leqslant \left\{ \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right\} \leqslant \frac{1}{2} {n \choose k} k^{n-k} \quad \left( n \geqslant 2, \ 1 \leqslant k \leqslant n-1 \right).$$
$$\left\{ \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right\}^2 \geqslant \left\{ \begin{array}{c} n \\ k-1 \end{array} \right\} \times \left\{ \begin{array}{c} n \\ k +1\end{array} \right\}.$$
(v)
Propriétés arithmétiques.
On considère un nombre premier $p$.
$\triangleright$ Pour tout $k \in \{2,\dotsc,p-1\}$, $p$ divise $\left\{ \begin{array}{c} p \\ k \end{array} \right\}$ et $p$ ne divise ni $\left\{ \begin{array}{c} p \\ 1 \end{array} \right\}$, ni $\left\{ \begin{array}{c} p \\ p \end{array} \right\}$.
$\triangleright$ $\left\{ \begin{array}{c} p+1 \\ 2 \end{array} \right\} \equiv 1 \; \left(\textrm{mod} \; p \right)$.
Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par noix de totos.
