Permutations d'objets partiellement indisc...
Bonsoir.
Considérons le mot $PARALLELOGRAMME$. Quand on sort de la grande section, on sait qu'on peut former $\frac{15!}{3!2!3!2!2!}$ mots différents à partir des lettres de ce mot. Le raisonnement classique pour s'en convaincre consiste à écrire $PA_1R_1A_2L_1L_2E_1L_3OGR_2A_3M_1M_2E_2$, c'est à dire à distinguer les lettres qui se répètent, compter en en tenant compte : $15!$, compter pour chaque mot le nombre de permutation des lettres qui se répètent : $3!2!3!2!2!$, et enfin, à diviser l'un par l'autre. C'est sur ce dernier point que j'aimerais discuter : pourquoi diviser ? Je sais qu'on doit diviser mais je ne saurais pas l'expliquer simplement. Il doit bien y avoir une explication formelle à coup de groupes quotients mais je cherche plutôt une explication pleine de bon sens, naturelle, qu'un enfant puisse comprendre.
Merci !
Considérons le mot $PARALLELOGRAMME$. Quand on sort de la grande section, on sait qu'on peut former $\frac{15!}{3!2!3!2!2!}$ mots différents à partir des lettres de ce mot. Le raisonnement classique pour s'en convaincre consiste à écrire $PA_1R_1A_2L_1L_2E_1L_3OGR_2A_3M_1M_2E_2$, c'est à dire à distinguer les lettres qui se répètent, compter en en tenant compte : $15!$, compter pour chaque mot le nombre de permutation des lettres qui se répètent : $3!2!3!2!2!$, et enfin, à diviser l'un par l'autre. C'est sur ce dernier point que j'aimerais discuter : pourquoi diviser ? Je sais qu'on doit diviser mais je ne saurais pas l'expliquer simplement. Il doit bien y avoir une explication formelle à coup de groupes quotients mais je cherche plutôt une explication pleine de bon sens, naturelle, qu'un enfant puisse comprendre.
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Réponses
Quand on a compté les 15! mots possibles, on a considéré que $PARALLELOGRAM_1M_2E$ et $PARALLELOGRAM_2M_1E$ étaient 2 mots différents.
Mais en fait, on veut les compter comme un seul et même mot.
Et comme systématiquement, pour chaque mot , on l'a compté 2 fois au lieu d'une, il faut diviser par 2.
Cordialement.
Parce que les deux exemples donnés par @lourrran divisent l'ensemble des mots en deux groupes de mots qui sont en fait les mêmes.
La factorielle est symbolique de l'ordre. Il y a n! ordres sur un ensemble de n éléments. Lorsqu'on lit ton calcul, on voit 15 lettres dans l'ordre auquel on enlève l'ordre sur un groupe de 3, de 2 ..., de 2.
Ta question retombe sur quelque chose d'important en dénombrement : idem ou pas pareil ?
Tu as l'ensemble des mots écrits avec ces lettres. C'est l'orbite de PARALLELOGRAMME sous l'action du groupe de permutations des 15 places. On sait que le cardinal de l'orbite est égal au cardinal du groupe divisé par le cardinal du stabilisateur de PARALLELOGRAMME. Ce stabilisateur est le produit des sous-groupes de permutations permutant une lettre donnée.