Si $n \in \mathbb N$ et $p \in \mathbb N$, on désigne par $n \choose p$ le nombre de parties à $p$ éléments d'un ensemble à $n$ éléments, on dit aussi le nombre de $p$-parties d'un $n$-ensemble.
Si $p>n$, il n'y a pas de de $p$-parties d'un $n$-ensemble, et quand il n'y a pas de quelque chose, c'est qu'il y en a $0$. D'où $n \choose p$$=0$ si $p>n$. Ce n'est pas une « convention », c'est une
conséquence de la définition de ${n \choose p}$. La plus belle fille du monde ne peut donner que ce qu'elle a.
Ainsi, le symbole ${n \choose p}$ est-il défini pour tout $n \in \mathbb N$ et tout $p \in \mathbb N$.
On peut donc représenter le
triangle de Pascal comme le tableau carré à double entrée des $n \choose p$, avec les cases sur-diagonales contenant $0$. La
formule de récurrence de Pascal ${n \choose p}={{n-1} \choose p}+{{n-1} \choose {p-1}}$ s'applique dans tout le tableau carré.
Remarquons que la formule ${n \choose p}= \frac {n(n-1)...(n-p+1)}{p!}$ donne bien cette valeur $0$ si $p>n$.
Les formules classiques reliant les coefficients binomiaux sont valables si l'on adopte cette définition de ${n \choose p}$ pour tout $n \in \mathbb N$ et tout $p \in \mathbb N$, et elles s'en trouvent simplifiées.
Par exemple, la
formule de convolution de Vandermonde : $\displaystyle \underset{k=0}{\overset{p}{\sum }}\binom{m}{k}\binom{n}{p-k}=\binom{m+n}{p}$ est vraie quels que soient les entiers naturels $m,n,p$, alors que si l'on ne définit ${n \choose p}$ que pour $n \ge p$, cette formule demande une hypothèse compliquée.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
26/01/2021
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