Nombre de triangles
Bonjour tout le monde
De combien de façons peut-on découper un triangle scalène en quatre triangles de même aire ?
Merci d'avance
De combien de façons peut-on découper un triangle scalène en quatre triangles de même aire ?
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Réponses
Je choisis un point D , n'importe où sur le segment AB ; pas trop n'importe où quand même, si je le prend trop près de A, la suite ne marchera pas.
Je construis E tel que le triangle ADE ait la surface voulue (un quart de la surface de ABC)
Il me reste un quadrilatère DBCE ; J'ai 4 façons de placer le point F (sur chacun des 4 segments DB DB CE ED ) , mais pour que les surfaces obtenues soient toutes égales, il faut que le segment DE ait une position bien choisie.
Donc, en prenant ADE comme triangle de base, on aurait apparement 4 solutions (c'est un maximum... peut-être que pour certains cas, on aurait moins ???? )
Idem pour B, idem pour C
Donc 3x4=12.
Mais , la solution avec D sur le segment AB, E sur le segment AC et F sur le segment BC a été comptée 3 fois dans ce décompte.
Donc 10 solutions en tout de ce type.
Par ailleurs, on peut choisir un point M 'central', tel que les triangles ACM et ABM aient la surface voulue (une seule solution) Il faudra alors découper le triangle BCM en 2 triangles de même surface, et on a 3 solutions.
Et on a donc 3x3=9 solutions de ce type.
Total : 10+9=19.
Bon, Lourran, tu fais quoi ? Tu réfléchis à voix haute ou tu donnes une solution ? Il faudrait que tu commences par une phrase qui nous l'indique.
Ne manque-t-il pas dans ton raisonnement, le fait de couper un côté en 4 de telle sorte que chaque aire des triangles partant du sommet opposé fasse 1 quart du total ? Il y a alors 3 découpages en plus.
Je m'attendais plus à voir arriver des remarques disant que j'avais proposé un nombre trop grand.
J'ai en fait un gros doute sur le premier groupe de 10.
D'après cet article, il y a 23 types de découpages sans s'occuper de l'aire. Reste à voir si on peut toujours faire ces 4 aires égales.
Je m’interroge tout de même : comment savoir, justement, que l’on a vraiment trouvé tous les découpages ?
Autre question : la couleur bleue dans ces schémas, quelle en est la raison ?
Si c’est marqué quelque part, fouettez-moi !
L'idée : pour partager 1 triangle en 2 : 3 solutions. D'où en 3 : 9 et en 4 : 27 solutions.
On coupe "en deux" triangles et chaque triangle peut être découpé encore en deux, etc.
Mais loupe-t-on un truc "non héréditaire" ?
Dans ton raisonnement, tu coupes un triangle en 2 ... en 2 triangles ou en un triangle et un quadrilatère, ou indifféremment ?
Je pense que dans ton décompte, soit tu oublies la configuration 'B5', soit tu la comptes plusieurs fois.
Bonne question. C'est pour cela que j'ai mis "types" en gras. L'article dénombre les découpages au sens topologique. Si j'insiste avec ma proposition, les 3 découpages sont résumés par la seule solution B15. Il faut donc faire tourner. Mais B4 ne permet pas de "faire tourner". Et quand je vois B5, je me demande si il n'y a pas une infinité de solutions, rien que pour cette sorte de découpage B5.
À suivre.
Bonne après-midi.
Fr. Ch.
.
Combien trouvez-vous de découpes d'un triangle en 3 triangles de même aire ? j'en ai 15, soit 18 - 3 redondants.
voir A056814 dans O.E.I.S.
Bien cordialement.
kolotoko