Nombre de Bell prépa

Est-ce que tu vois pourquoi $P_1$ est non vide ?

Pierre37 a écrit:

Le problème c’est que je ne connais pas le nombre d’élément dans chacun des Pi

Effectivement. Mais de toute façon tu n'as pas besoin du cardinal pour répondre à la question.

Ce qu'on te demande de montrer est l'égalité entre ensembles : $E_n=\bigcup_{i=1}^k P_i$.
Pour le faire tu dois prouver que ces deux ensembles ont exactement les mêmes éléments.

Tu dois donc prouver que si $m\in \bigcup_{i=1}^k P_i$ alors $m\in E_n$ et réciproquement que si $m\in E_n$ alors $m\in \bigcup_{i=1}^k P_i$.

$B_{n,n-1}$ n'est pas égal à $n$. Tu peux regarder ce qui se passe avec $n=4$.

Bonjour.
Pierre37 semble être venu à bout de ce problème. Quelques remarques à l'intention de l'auteur de cet énoncé. C'est très bien de consacrer tout un problème, même bref, à une question de Combinatoire, qui est la parente pauvre des programmes d'enseignement. Claude Berge a dit un jour que les mathématiques discrètes, ce sont les mathématiques dont on ne parle pas beaucoup.

Les nombres de Bell ont été présentés par Eric Temple Bell (1883-1960) dans un article de l'American Mathematical Monthly de 1934. On les note $B_n$ mais si l'on craint une confusion avec les nombres de Bernoulli on les note aussi $\varpi _{n}$, autre écriture de la lettre grecque pi, initiale du mot « partition ».
Les nombres de $k$-partitions, ou partitions en $k$ classes, sont les nombres de Stirling de deuxième espèce, présentés par James Stirling (1692-1770) dans son ouvrage majeur Methodus differentialis, sive tractatus de summatione et interpolatione serierum infinitarum, 1730. Ces nombres ne se notent pas $B_{n,k}$ mais $S(n,k)$ ou $\left\{
\begin{array}{c}
n \\
k%
\end{array}%
\right\} $.
Ces nombres ont d'importantes propriétés, je joins un article qui en présente certaines, paru dans une revue à l'intention des élèves de prépa-HEC.

La notice finale du problème de Pierre37, à vocation historique, part d'une bonne intention, pour montrer aux élèves la mathématique vivante, mais je suis sceptique sur ces « traces (?) dans le Japon médiéval ». Il semblerait plutôt qu'un mathématicien japonais du XVIIIème siècle ait étudié ces nombres, mais comme souvent dans ces mathématiques exotiques, on manque de sources précises et avérées, et c'est un peu tard pour « médiéval ».
L'auteur de l'énoncé aurait pu évoquer James Stirling et développer sur la personnalité d'Eric Temple Bell, non seulement mathématicien créatif mais aussi vulgarisateur de talent et écrivain, un des premiers auteurs de science-fiction sous le pseudonyme de John Taine.

Bonne journée de ce 6 février 2021.
Fr. Ch.

[Ajout de la référence citée. AD]

Bonjour,
je reviens à la question 3)b):
\[\text{Pour } n\in \mathbb{N}\setminus \{0,1\} \text{ et } 1\leq k<n , \;\text{ montrer que } B_{n,k}=B_{n-1,k-1}+kB_{n-1,k}\]
Pour le premier terme du membre de droite je l'interprète comme le nombre de partitions à $k-1$ parties dans l'ensemble à $n-1$ éléments, la $k$-ième partie est constituée de l'élément restant dans $E_n$ si on note $E_n$ l'ensemble à $n$ éléments à partitionner.
En revanche je n'arrive pas à interpréter le deuxième terme (je suppose que le $k$ vient de $\binom{k}{k-1}$)

Oups ! En relisant mon message précédent, je constate que j'y avais dit que je joignais un article pour prépa-HEC, et sans doute subjugué par le profil d’aigle d'Eric Temple Bell et la ravissante blonde de Famous Fantastic Mysteries, je ne l'ai pas fait. Voici cet article.

Bonsoir

On parle des nombres de Bell à l'occasion de la fonction f de Bell

$f(x)=exp(e^x-1)$ définie quelle que soit la variable x réelle

elle est positive, croissante, convexe, en effet f et ses dérivées successives sont positives quelle que soit x et f passe par le point A(0 ; 1)
les limites de f sont 1/e et plus l’infini pour x tendant respectivement vers moins l’infini et plus l’infini
(la croissance de f est plus forte que celle de exp(x) ou celle de $\Gamma(x)$ )

On définit les nombres de Bell $b_n$ comme les nombres dérivés de f pour x nulle soit :

$exp(e^x - 1) = 1 + b_1.x + b_2\frac{x^2}{2!} + b_3\frac{x^3}{3!} +...........+ b_n\frac{x^n}{n!}+.......$

les nombres de Bell de par la structure de f et de ses dérivées successives sont tous entiers naturels.

On trouve : $b_1) = 1$, $b_2=2$, $b_3 = 5$ , $b_4 = 5$, $b_5 = 52$ , $b_6 = 203$ , $b_7 = 877$

les nombres de Bell sont les limites de séries numériques :

$b_n = \frac{1}{e}[1 + \frac{2^n}{2!} + \frac{3^n}{3!} + .........+ \frac{p^n}{n!}+.......]$

en effet : $f(x) = \frac{1}{e}exp(e^x) = \frac{1}{e}[1 + e^x + \frac{e^{2x}}{2!} + ..............+ \frac{e^{px}}{p!}+......]$

et en identifiant le monôme $x^n$ dans les deux développements nous trouvons $b_n$
sous forme de série numérique dont la limite est entière ce qui n’était pas évident.

D’autre part les nombres de Bell sont explicités par l’intermédiaire des nombres de Stirling de seconde espèce

sous la forme d’une double somme : $b_n = \Sigma_{k=0}^{n}S^n_k = \Sigma_{k=1}^{n}\Sigma_{j=1}^{k}\frac{(-1)^{k-j}}{j!(k-j)!}$

La divergence très rapide de la suite $b_n$ est celle de l’intégrale paramétrée $\frac{1}{e}\int_1^{n}\frac{t^n}{\Gamma(1+t)}dt$

On peut établir une relation de récurrence entre les nombres de Bell en effet :

$b_{n+1} = \frac{1}{e}[1 + \frac{(1+1)^n}{1!} + \frac{(1+2)^n}{2!} +............+ \frac{(1 + p)^n}{p!}+........]$

et après utilisation du développement du binôme de Newton , Il vient donc la relation de récurrence particulièrement simple
qui rappelle celle des nombres de Bernoulli (dont la croissance en valeur absolue est équivalente) :

$b_{n+1} = 1 + \dbinom{n}{1}b_1 + \dbinom{n}{2}b_2 + .............+ \dbinom{n}{p}b_p +.........+ \dbinom{n}{n}b_n$

Cordialement