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Nombre de Bell prépa

Envoyé par Pierre37 
Nombre de Bell prépa
il y a deux mois
Bonjour
J’ai un devoir maison à faire concernant le nombre de Bell (je suis en première année de prépa) et je rencontre des difficultés.
Je vous envoie l’énoncé du devoir.
Je suis bloqué à la question 1.b) où je ne vois pas du tout comment partir (et du coup la 1.c) me bloque aussi).
Je sais que je dois montrer que l’ensemble des P1 ... Pk est disjoint, non vide et dont l’union forme En, mais je ne vois pas du tout comment partir.
Merci de votre aide.


Re: Nombre de Bell prépa
il y a deux mois
avatar
Est-ce que tu vois pourquoi $P_1$ est non vide ?
Re: Nombre de Bell prépa
il y a deux mois
En fait j’ai du mal à comprendre « Pi est l’ensemble des antécédents de i par f »
Comme on ne connaît pas f, si je prends n=3 et k = 2 par exemple, je ne vois pas quels sont les antécédents de 1...?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.
Re: Nombre de Bell prépa
il y a deux mois
Plus précisément, est ce que les antécédents de 1 signifie les antécédents du chiffre 1?
Re: Nombre de Bell prépa
il y a deux mois
avatar
Tu dois supposer que $f$ est connue, mais pas besoin de la connaître. Par contre on te dit qu'elle est surjective, donc $f$ n'est pas tout à fait quelconque.

Les antécédents de $1$ par $f$ sont les nombres $m\in\{1,...,n\}$ qui vérifient $f(m)=1$.

$P_1$ est l'ensemble de ces nombres. Mais pourquoi tu peux dire avec certitude qu'il ne sera pas vide ?
Re: Nombre de Bell prépa
il y a deux mois
Comme f est surjective, tout éléments de {1...k} a au moins un antécédent dans En par f
Donc P1 est non vide, et je suppose comme tous les autres Pi, donc tous les Pi sont non vides
Il me reste à montrer qu’ils sont disjoints et que leur union est En



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par Pierre37.
Re: Nombre de Bell prépa
il y a deux mois
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En effet.
Re: Nombre de Bell prépa
il y a deux mois
Pour montrer qu’ils sont disjoints est ce que je peux dire que les Pi sont par définitions l’ensemble des antécédents de i par f, or un élément de En a au maximum une image par f donc aucuns éléments ne peut être dans un Pi et dans un Pi’ en supposant i différent de i’ ?
Si cela est correct il reste à montrer que l’union des Pi est En est ça je ne vois pas vraiment
Re: Nombre de Bell prépa
il y a deux mois
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Citation
Pierre37
or un élément de En a au maximum une image par f

C'est plutôt "or un élément de $E_n$ a exactement une image par $f$".

Quoi qu'il en soit ton argument n'est pas très clair.

Plutôt un truc dans le genre : soient $i,j\in\{1,...,n\}$ quelconques avec $i\neq j$. Si $m$ est dans $P_i$ alors $f(m)=i$, donc $f(m)\neq j$ donc $m\notin P_j$. Ceci prouve qu'un élément ne peut être à la fois dans $P_i$ et dans $P_j$.



Pour montrer que l'union $\bigcup_{i=1}^k P_i$ est égale à $E_n$ tu prends un élément $m$ quelconque dans $E_n$ et tu considères le nombre $f(m)$. Par commodité on peut noter $j:=f(m)$ (c'est plus court d'écrire $j$ que $f(m)$).

Que peux-tu dire de $P_j$ ? est-ce que $m$ lui appartient ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par raoul.S.
Re: Nombre de Bell prépa
il y a deux mois
Par définition des Pi et en notant j=f(m) on a bien m qui appartient à Pj oui.
Est-ce que je devrais raisonner avec le cardinal là ? Comme les Pi sont disjoints le cardinal de leur union est la somme de leurs cardinaux.
Le problème c’est que je ne connais pas le nombre d’éléments dans chacun des Pi.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.
Re: Nombre de Bell prépa
il y a deux mois
avatar
Ce sont les cloches qui résonnent. Les humains raisonnent, enfin, parfois...
Re: Nombre de Bell prépa
il y a deux mois
avatar
Citation
Pierre37
Le problème c’est que je ne connais pas le nombre d’élément dans chacun des Pi

Effectivement. Mais de toute façon tu n'as pas besoin du cardinal pour répondre à la question.

Ce qu'on te demande de montrer est l'égalité entre ensembles : $E_n=\bigcup_{i=1}^k P_i$.
Pour le faire tu dois prouver que ces deux ensembles ont exactement les mêmes éléments.

Tu dois donc prouver que si $m\in \bigcup_{i=1}^k P_i$ alors $m\in E_n$ et réciproquement que si $m\in E_n$ alors $m\in \bigcup_{i=1}^k P_i$.
Re: Nombre de Bell prépa
il y a deux mois
Re
Je suis arrivé à montrer la question par double inclusion et ça passait très bien
J’ai aussi réussi la question 1.c) par analyse synthèse et la question 2.a)
Serait-il possible d’avoir une petite aide sur la 2.b)?
Je pense que Bn,0 = 1 ; Bn,1 = 1 ; Bn,n-1 = n et Bn,n = 1
Cependant je n’arrive pas à le prouver rigoureusement
Re: Nombre de Bell prépa
il y a deux mois
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$B_{n,n-1}$ n'est pas égal à $n$. Tu peux regarder ce qui se passe avec $n=4$.
Re: Nombre de Bell prépa
il y a deux mois
avatar
Pierre37, fais des dessins avec des patates (diagrammes d'Euler-Venn) et des flèches.
Étrange énoncé qui à la ligne 5 pose la convention $B_0=1$ et à la ligne 14 demande la valeur de $B_0$.
Courage Pierre37.
Fr. Ch.
Re: Nombre de Bell prépa
il y a deux mois
Pour n = 4 je trouve Bn,n-1 = 6 c’est ça?
Re: Nombre de Bell prépa
il y a deux mois
avatar
Oui, et $B_{5,4}$ ?
Dans une partition d'un $n$-ensemble en $n-1$ classes, combien y a-t-il d’éléments dans chacune des classes ?
Re: Nombre de Bell prépa
il y a deux mois
Après réflexion je trouve que Bn,n-1 = n(n-1)/2
J’ai aussi pu réfléchir à la question 3.a) en disant que Bn était l’union des Bn,k mais je dois pour cela le démontrer et ça je ne sais pas encore
Re: Nombre de Bell prépa
il y a deux mois
avatar
Bn,n-1 = n(n-1)/2 thumbs down

Pour la 3 a) il suffit de remarquer que toute partition est forcément une k-partition pour un certain k...
Re: Nombre de Bell prépa
il y a deux mois
avatar
Bonjour.
Pierre37 semble être venu à bout de ce problème. Quelques remarques à l'intention de l'auteur de cet énoncé. C'est très bien de consacrer tout un problème, même bref, à une question de Combinatoire, qui est la parente pauvre des programmes d'enseignement. Claude Berge a dit un jour que les mathématiques discrètes, ce sont les mathématiques dont on ne parle pas beaucoup.

Les nombres de Bell ont été présentés par Eric Temple Bell (1883-1960) dans un article de l'American Mathematical Monthly de 1934. On les note $B_n$ mais si l'on craint une confusion avec les nombres de Bernoulli on les note aussi $\varpi _{n}$, autre écriture de la lettre grecque pi, initiale du mot
« partition ».
Les nombres de $k$-partitions, ou partitions en $k$ classes, sont les nombres de Stirling de deuxième espèce, présentés par James Stirling (1692-1770) dans son ouvrage majeur Methodus differentialis, sive tractatus de summatione et interpolatione serierum infinitarum, 1730. Ces nombres ne se notent pas $B_{n,k}$ mais $S(n,k)$ ou $\left\{
\begin{array}{c}
n \\
k%
\end{array}%
\right\} $.
Ces nombres ont d'importantes propriétés, je joins un article qui en présente certaines, paru dans une revue à l'intention des élèves de prépa-HEC.

La notice finale du problème de Pierre37, à vocation historique, part d'une bonne intention, pour montrer aux élèves la mathématique vivante, mais je suis sceptique sur ces « traces (?) dans le Japon médiéval ». Il semblerait plutôt qu'un mathématicien japonais du XVIIIème siècle ait étudié ces nombres, mais comme souvent dans ces mathématiques exotiques, on manque de sources précises et avérées, et c'est un peu tard pour
« médiéval ».
L'auteur de l'énoncé aurait pu évoquer James Stirling et développer sur la personnalité d'Eric Temple Bell, non seulement mathématicien créatif mais aussi vulgarisateur de talent et écrivain, un des premiers auteurs de science-fiction sous le pseudonyme de John Taine.

Bonne journée de ce 6 février 2021.
Fr. Ch.

[Ajout de la référence citée. AD]



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois semaines et a été effectuée par AD.


Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - Stirling-Bell_Référence.pdf (187 KB)
Re: Nombre de Bell prépa
il y a deux mois
avatar
Chaurien, pour le thème médiaval rapport au Japon et la mention du XVIIIème siècle, il faut savoir qu'on considère que le Japon est sorti de la féodalité à la fin de l'ère Edo c'est-à-dire vers 1868, ce qui est tard par rapport à ce qu'on connaît en Europe. Le Japon a une histoire "atypique" de ce point de vue si on compare avec les pays européens.
Le choix de l'emploi du mot "médieval" vient peut-être de cela.
Re: Nombre de Bell prépa
il y a trois semaines
Bonjour,
je reviens à la question 3)b):
\[\text{Pour } n\in \mathbb{N}\setminus \{0,1\} \text{ et } 1\leq k<n , \;\text{ montrer que } B_{n,k}=B_{n-1,k-1}+kB_{n-1,k}\]
Pour le premier terme du membre de droite je l'interprète comme le nombre de partitions à $k-1$ parties dans l'ensemble à $n-1$ éléments, la $k$-ième partie est constituée de l'élément restant dans $E_n$ si on note $E_n$ l'ensemble à $n$ éléments à partitionner.
En revanche je n'arrive pas à interpréter le deuxième terme (je suppose que le $k$ vient de $\binom{k}{k-1}$)
Re: Nombre de Bell prépa
il y a trois semaines
Bonjour,

Soit $\mathcal P$ l'ensemble des partitions à $k$ éléments de $[\![1;n]\!]$ ne contenant pas le singleton $\{n\}$ et $\mathcal Q$ celui des partitions des partitions à $k$ éléments de $[\![1;n-1]\!].$

L'application $\mathcal P \longrightarrow \mathcal Q:\quad \Big \{ A_1,\dots A_{i-1}, A_i, A_{i+1},\dots A_k\Big \}\longmapsto \Big \{A_1, \dots A_{i-1}, A_i\setminus \{n\}, A_{i +1}\dots A_k\Big \}$
(où $i$ est l'unique élément de $[\![1;k]\!]$ tel que $n \in A_i$ ) est une surjection de $\mathcal P$ sur $\mathcal Q$ telle que tout élément $\Big\{B_1,B_2,...B_k \Big\}$ de $ \mathcal Q$ possède exactement $k$ antécédents qui sont: $\Big\{B_1\cup\{n\},B_2,\dots B_k \Big\},\quad\Big\{B_1,B_2\cup\{n\},...B_k\Big\},....\Big\{B_1,B_2,...B_n\cup\{k\}\Big\}.$
$$ \#\mathcal P = k\times \#\mathcal Q.$$
Re: Nombre de Bell prépa
il y a trois semaines
avatar
Oups ! En relisant mon message précédent, je constate que j'y avais dit que je joignais un article pour prépa-HEC, et sans doute subjugué par le profil d’aigle d'Eric Temple Bell et la ravissante blonde de Famous Fantastic Mysteries, je ne l'ai pas fait. Voici cet article.
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - Stirling-Bell_Référence.pdf (187 KB)
Re: Nombre de Bell prépa
il y a trois semaines
Merci LOU16.
Ainsi $B_{n,k}$ correspond au nombre de partitions contenant le singleton $\{n\}$ soit $B_{n-1,k-1}$ plus le nombre de partitions ne contenant pas le singleton $\{n\}$, soit $kB_{n-1,k}$.
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