Dénombrement

Bonjour
Je ne suis pas sûr du tout de mes réponses à un exercice sur le dénombrement. Pouvez-vous me donner votre avis s’il vous plaît(sans me donner les réponses) ?

Question 1. On souhaite placer 16 personnes autour d’une table.
1. Combien y a-t-il de manières de les placer ?
je fais simplement un arrangement avec n=16 et k=16
2. Parmi ces 16 personnes, il y a Joe et Donald ; et pour mettre un peu d’ambiance à table, on souhaite les placer à côté l’un de l’autre. Combien de configurations peut-on envisager avec cette contrainte ?
Arrangement avec n=16 et k=14
3. Finalement, on apprend que ces 16 invités sont en fait 8 couples ; et que chaque invité souhaite être assis à côté de son/sa partenaire. Combien de possibilités cela nous laisse-t-il ?
arrangement avec n=16 k=2

Merci par avance.



Edité 2 fois. La dernière correction date de le mois dernier et a été effectuée par AD.

Déjà la 3ème je me suis trompé désolé je voulais écrire k=8 et n=16



Edité 1 fois. La dernière correction date de le mois dernier et a été effectuée par B41.

Bonjour.

1) Et ça donne ... Peux-tu justifier ta réponse ?
2) Pourquoi écris-tu ça ?
3) Pourquoi écris-tu ça ?

Cordialement.

NB : Enoncé très imprécis : Que veut dire placer ? Et si la table est ronde ? et pour une table carrée, deux personnes qui sont sur des côtés différents peuvent-elles être "à côté l’une de l’autre" ?

Merci de ta réponse Gérard!
1) 16! (Collection ordonnée avec k objets distincts, on dénombre les injections de {1,...,16}=personnes numérotées dans {p1,...,p16}=numéros places
2) à partir de là c’est confus, je me dis qu’on dénombre les injections de {1,...,14} dans {p1,...,p16} (j’enlève joe et Donald).
3) je dénombre les injections de {1,...,8}=nombre de couples dans {c1,...,c16}=nombre de « paires »de places.

Bonjour

Un mathématicien ne peut pas répondre sans connaître la forme de la table (ronde, rectangle pourvue de partout, rectangle avec tous les membres du jury du même côté, etc).

En supposant qu'il y a 16 places et que deux numéros consécutifs sont "à côté" (16 et 1 étant consécutifs, le problème revient à numéroter les 16 personnes par leur numéro de place.

1) Tu redis qu'on dénombre les injections, mais tu n'as rien expliqué : Il n'y a aucun lien avec l'énoncé (à part le nombre 16, mais il est deux fois dans l'énoncé. Donc ce n'est pas une explication.
Une explication : Attribuer sa place à un des convives, c'est définir une application de l'ensemble des convives dans l'ensemble des places (chaque convive a une place). Deux personnes différentes ayant des places différentes, cette application est injective, et même bijectives. le nombre de bijections d'un ensemble à 16 éléments dans un ensemble à 16 éléments est .. (manifestement, tu refuses de donner la réponse !!)

2) Toujours aucun explication, aucun lien avec l'énoncé. Manifestement, tu n'as même pas essayé de voir comment tu ferais pour placer les 16 autour de la table.
3) Idem.

Bon, pour l'instant, tu n'as pas encore essayé de faire cet exercice, tu attends qu'on le fasse à ta place ? Quand tu voudras le faire, tu réfléchiras à comment faire un placement des 16 avec J et D côte à côte; puis tu chercheras à les faire tous, une fois et une seule; enfin tu compteras le nombre de placements. Si nécessaire, tu formaliseras ça avec des applications. Mais avant de formaliser, il faut savoir ce qu'on veut faire ...

Cordialement.

Merci de ta réponse je n’ai pas cette information mais avec mon groupe d’amis nous supposons que c’est une table ronde.

Je suis allé un peu vite.
1)Alors oui, mon application g qui défini la place d’un invité va de l’ensemble des invités E={1,...,16} dans l’ensemble des places F={p1,...,p16}. L’application est injective car 1 place est occupée par 1 seule personne, de plus les cardinaux des ensembles sont égaux donc elle est bijective. On veut donc le nombre de bijections d’un ensemble de card 16 dans un ensemble de card 16, ce qui donne 16!(factorielle), ou 16!/0!.

2) pour ce cas j’ai du mal à me le représenter! C’est selon moi connaître le nombre de possibilités différentes de placements pour les convives (donc le nombre d’injections* de E dans F sachant que 2 d’entre eux doivent être côte à côte) donc que pour deux éléments fixés de E par exemple 1 et 6 on ait g(1)=pk et g(6)=pk+1 ou inversement, (pour k=16 k+1=1). Est-ce juste de penser comme cela?

*(toujours « injections »car on veut qu’une place soit liée à une personne seulement)


Ps je crois avoir compris je reviens plus tard



Edité 1 fois. La dernière correction date de le mois dernier et a été effectuée par B41.

Pour la question 2, un lycéen ferait cela en 3 étapes :

• On choisit la place de gauche parmi 16 pour placer le couple, sans ordre, ni répétition (=> Combinaison)
• Pour chaque cas précédent, qui est à gauche ? On choisit 1 convive parmi 2, sans ordre, ni répétition (=> Combinaison)
• Pour chaque cas précédent, les autres se placent. On choisit 14 convives parmi 14 places dans l'ordre, sans répétition (=> Arrangement)

$C^1_{16}C^1_2A_{14}^{14}$

Oui merci! j’ai trouvé après, je voulais voir cela avec les ensembles et application.
Je continue l’exercice tranquillement de mon côté.
Encore merci,
Bonne soirée!

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