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Comptage dans des sommes

Envoyé par Code_Name 
Comptage dans des sommes
il y a sept semaines
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Bonjour, soit $z\in \mathbb R^d$, $A\in \mathbb R^{d\times d}$ une matrice strictement positive.
Soit $F(z)=e^{\frac{1}{2}\langle z,Az\rangle}$.

Question 1. On a
$$\frac{\partial }{\partial z_j}e^{\frac{1}{2}\langle z,Az\rangle}=\underbrace{\left(\sum_lA_{l\,j}z_l\right)}_{=f_j(z)}e^{\frac{1}{2}\langle z,Az\rangle}$$Donc $$\frac{\partial }{\partial z_i}\frac{\partial }{\partial z_j}e^{\frac{1}{2}\langle z,Az\rangle}=A_{ij}e^{\frac{1}{2}\langle z,Az\rangle}+f_i(z)f_j(z)e^{\frac{1}{2}\langle z,Az\rangle}\overset{z=0}{\to }A_{ij}.$$ Soit $l_1,\ldots,l_m\in \{1,\ldots,d \}$ et $\mathfrak B(m)$ l'ensemble des appareillements de $\{1,\ldots,m\}$, où un appareillement d'un ensemble fini $E$ est une collection $\Pi=\{\pi\}$ de parties $\pi$ disjointes de $E$ contenant exactement deux éléments et dont l'union vaut $E$.

Je voulais savoir pourquoi on a $$\left[\left(\prod_{i=1}^m \frac{\partial }{\partial z_{l_i}}F(z) \right ) \right ]_{z=0}=\sum_{\Pi \in \mathfrak B(m)}\prod_{\{i,j\}\in \Pi}A_{l_il_j}\quad?

$$ Question 2. Pourquoi a-t-on aussi
$$\left(\prod_{i=1}^m \frac{\partial }{\partial z_{l_i}}\right)f_{_{l_{m+1}}}(z)f_{_{l_{m+2}}}(z)F(z)=\sum_{A\sqcup B\sqcup C=[m]}\left(\prod_{k\in A} \frac{\partial }{\partial z_{l_k}}f_{_{l_{m+1}}}(z) \right )\left(\prod_{k\in B} \frac{\partial }{\partial z_{l_k}}f_{_{l_{m+2}}}(z) \right )\left(\prod_{k\in C} \frac{\partial }{\partial z_{l_k}}F(z) \right )\quad?

$$ Question 3. Finalement, pourquoi
$$A_{l_{m+1}l_{m+2}}\sum_{\Pi \in \mathfrak B(m)}\prod_{\{i,j\}\in \Pi}A_{l_il_j}+\sum_{\substack{a,b\in [m] \\ \Pi \in \mathfrak B([m]\setminus \{a,b\})}}A_{l_al_{m+1}}A_{l_bl_{m+2}}\prod_{\{i,j\}\in \Pi}A_{l_il_j}=\sum_{\Pi \in \mathfrak B(m+2)}\prod_{\{i,j\}\in \Pi}A_{l_il_j}\quad?
$$Merci d'avance pour votre aide.



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