Simplification d'un produit de sommes

Elewen · June 2021

Bonjour,
Je travaille actuellement sur de la coloration de graphes (avec pas mal de calculs de probas), et dans une certaine approximation je tombe sur un produit assez compliqué :
$$
\prod_{\substack {0\leq k_1,\ldots,k_t \leq \theta \\ k_1 + \cdots+ k_t = \theta }} \sum_{i=1}^t k_i^2.

$$
où $\theta$ et $t$ sont des naturels strictement positifs. L'idéal serait de trouver une forme simple, mais je n'ai rien trouvé pour l'instant.
Si une personne a une idée, une piste ou un commentaire, je suis preneur !
Merci d'avance.

AlainLyon · June 2021

Bonjour l'ensemble $0\leq x_i\leq \theta,\ x_i\in\mathbb{R}$ est un hypercube $C(\theta)$ et l'ensemble $\sum_{i=1}^t x_i=\theta$ et un hyperplan $H(\theta)$. Il s'agit donc de trouver le carré de la distance à l'origine des points de coordonnées entières de $C(\theta)\cap H(\theta)$ : a priori il n'y a pas de raison que cette somme ait une valeur unique..
;-)

jandri · June 2021

Bonjour,

pour $t=2$ il semble qu'il n'y ait pas de formule connue, voir l'OEIS, suite A323540

Dreamer · June 2021

Bonsoir.

Avant tout, serait-il possible de savoir dans quel ensemble de nombres se trouve $\theta$ ?

Merci d'avance et à bientôt.

AlainLyon · June 2021

Avec $2$ variables seulement tu peux faire de la géométrie dans le plan. Que deviennent alors l'hypercube
$C(\theta)$ et l'hyperplan $H(\theta)$ (ce n'est pas bien compliqué)
:-)

AlainLyon · June 2021

Si on choisit pour $\theta>0$ dans $\mathbb{R}$ et $2$ variables que représentent l'hypercube $H(\theta)$ et l'hyperplan $C(\theta)$? En fonction de $\theta$ quelles sont les valeurs à coordonnées entières de $C(\theta)\cap H(\theta)$. Montrer que pour $\theta\ge 4$ ces valeurs ne sont pas uniques et surtout faire un dessin!
;-)

AlainLyon · June 2021

Dans la plupart des cas cette classe de problèmes où intervient un simplexe n'admet pas nécessairement de formule close, ce qui n'interdit pas de chercher un paramétrage géométrique.
;-)

Elewen · June 2021

Pour préciser, dans mon cas j'ai $\theta$ et $t$ dans $\mathbb{N}^*$.

AlainLyon · June 2021

C'est ce que j'avais compris. Commencer par $t=2$ simplifie le problème et prouver qu'il existe ou n'existe pas de formule close me parait du domaine de l'algèbre ou de l'analyse. Par exemple, existe-t-il un polynôme $P$ tel que $P(\theta)=ton~produit$? Je suggère dans un premier temps de trouver un minorant $f(\theta)$ de ton produit et de comparer son développement assymptotique aux polynômes, si tu trouves pour $f(\theta)$ un truc du genre $\lambda^\theta$ avec $\lambda>0$ alors $P$ n'existe pas, cela voudra dire que s'il existe une formule close alors il faut chercher pour ton produit autre chose que des polynomes de $\theta$.Mais l'ideal c'est de trouver $f$ et $g$ fonctions de $\theta$ qui encadrent ton produit et sont équivalentes à l'infini.

AlainLyon · June 2021

Pour $t=2$ l'ensemble $C(\theta)\cap H(\theta)$ c'est les points à coordonnées entières de la deuxième diagonale du carré de côté de longueur $\theta$. Vois-tu pourquoi il n'existe pas de formule du type $P(\theta)$ avec $P$ polynome? Je vais me coucher. A demain!

Dreamer · June 2021

Bonsoir.

Prenons les choses dans l'ordre :

Pour $t = 1, P(\theta)= \theta^2$ qui est clairement un polynôme en $\theta$.

Pour $t = 2$, la réponse à été donnée par Jandri avec la suite de l'OEIS.
Vu les indications données dans les commentaires, clairement $P(\theta)$ est exponentiel.
Comme le caractère de $P(\theta)$ semble exploser suivant les valeurs croissantes de t, il y a fort à parier que l'expression de $P(\theta)$ soit encore plus rapidement croissante pour les valeurs suivantes.

Les expressions pour $P(\theta)$ ont donc aussi de grandes chances d'être très mal référencées pour les valeurs de t plus grandes pour les mêmes raisons (OEIS n'apprécie pas fort les suites où il est seulement possible d'exprimer un ou deux termes quand les suivants sont plus grands que le nombre de particules de l'Univers, je me souviens en avoir vu une qui ressemblait à cela, voici l'exemple de ce que cela donne).

Maintenant, si on essaie de voir comment se comporte la fonction quand on borne la valeur de $\theta$ à 1 (et incidemment, les $k_i$ étant inférieurs à l'unité), cela pourrait donner d'autres pistes.

À bientôt.

AlainLyon · June 2021

Si le problème est issu de la théorie des graphes alors on peut parier que les $t_i$ sont astreints à des valeurs entières.

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