combinatoire

Bonjour, je veux connaitre le nombre de possibilités qu'on a de mettre $n$ boules distincts dans $k$ boites ($k\leq n$). Je sais que le résultat est $n+k-1\choose k-1$. Le résultat que je trouve est ça, mais c'est mon raisonnement dont je ne suis pas sûr.
Pour moi, je dirais que c'est le nombre de permutations des éléments de l'ensemble:
$\{ \underbrace{B\cdots B}_{n\ fois} \underbrace{S\cdots S}_{k-1\ fois}\}$ où $B$ sont les boules et $S$ les séparations. Ainsi, on a $(n+k-1)!$ permutations possibles. Mais comme les permutations des ensembles $\{B\cdots B\}$ et $\{S\cdots S\}$ laissent invariant l'ensemble de départ, j'enlève le nombre de permutations du premier ensemble et du deuxième ensemble, i.e $n!$ et $(k-1)!$. J'arrive donc à $\frac{(n+k-1)!}{n!(k-1)!}={n+k-1\choose k-1}$. Mais je sens qu'il y a un truc qui ne va pas car par exemple, si je considère
$\{A\ A\ A\ B\ B\}$, donc une permutation possible serait $\{A\ B\ A\ A\ B\}$ et en permutant les deux $B$ j'aurais le même ensemble, je n'ai donc pas enlevé le doublons de cet ensemble. Quelqu'un aurait-il une idée ? Et surtout, pourquoi mon raisonnement (vraisemblablement faux) me permet d'arriver au bon résultat ?
Merci :-)