petite question de combinatoire
salut tout le monde,
J'ai une petit question de combinatoire pour laquelle j'ai trouve une reponse(11! 3/16) mais cela ne correspond pas a la solution donnee.
voici la question :
on doit distribuer 7 différents cadeaux a 10 différents enfants. chaque enfant peut avoir au plus 2 cadeaux. en combien de facon peut on faire ceci?
J'ai discrimine par rapport au nombre d'enfant avec 2 cadeaux pour avoir le resultat. Ma reponse est elle correcte?
merci
J'ai une petit question de combinatoire pour laquelle j'ai trouve une reponse(11! 3/16) mais cela ne correspond pas a la solution donnee.
voici la question :
on doit distribuer 7 différents cadeaux a 10 différents enfants. chaque enfant peut avoir au plus 2 cadeaux. en combien de facon peut on faire ceci?
J'ai discrimine par rapport au nombre d'enfant avec 2 cadeaux pour avoir le resultat. Ma reponse est elle correcte?
merci
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Réponses
Edit: non, je trouve comme toi!
i)Si chaque enfant reçoit au plus un cadeau:
il y a $\dfrac {10!}{3!}$ façons de répartir les 7 cadeaux
ii) Si un enfant reçoit un lot de 2 cadeaux et les autres reçoivent un cadeau au plus:
il y a $C_7^2$, soit $21$ façons de choisir le lot de deux cadeaux parmi les 7 cadeaux.
Ensuite on distribue 6 cadeaux (dont un lot de deux ) à 10 enfants.
le nombre de répartitions est $21\dfrac {10!}{4!}= 10!\ \dfrac 7 8$
iii) Si deux enfants recoivent un lot de deux cadeaux et les autres reçoivent au plus un cadeau :
il y a $C_7^2\times C_5^2/2$, soit $105$ façons de définir (sans ordre) les deux lots de deux cadeaux parmi les 7 cadeaux.
Ensuite on distribue 5 cadeaux (dont deux lots de deux ) à 10 enfants.
le nombre de répartitions est $105\dfrac {10!}{5!}= 10!\ \dfrac 7 8$
iv) Si trois enfants recoivent un lot de deux cadeaux et les autres reçoivent au plus un cadeau :
il y a $C_7^2\times C_5^2\times C_3^2/3!$, soit $105$ façons de définir (sans ordre) les trois lots de deux cadeaux parmi les 7 cadeaux.
Ensuite on distribue 4 cadeaux (dont trois lots de deux ) à 10 enfants.
le nombre de répartitions est $105\dfrac {10!}{6!}= 10!\ \dfrac 7 {48}$
Le nombre total de répartitions satisfaisantes est donc:
$10!\ \big ( \dfrac 1 6 +\dfrac 7 8+\dfrac 7 8 +\dfrac 7{48}\big )=10!\ \dfrac{99}{48}=\boxed{11!\ \dfrac 3{16}}$
Amicalement. jacquot
Ceci pourrait peut-être expliquer l'écart (je trouve comme ça, en vite fait, 10! * 176/48 = 11! / 3 )
Alors je vais essayer de trouver une argumentation convaincante:
Il y a bien (21 x 10) / 2 façons différentes de faire deux lots de deux cadeaux parmi 7 cadeaux : peu importe l'ordre dans lequel on a constitué ces deux lots de deux.. seule la répartion finale compte.
Maintenant, on distribue 5 lots (deux de 2 cadeaux et trois d'un seul) à 10 enfants, chacun recevant au plus un lot. C'est là seulement que l'ordre intervient...
Non ?
j'essaie de dire autrement ce qu'écrit Jacquot:
On numérote les enfants de 1 à 10.
Je traîte le cas où deux enfants reçoivent 2 cadeaux et trois enfants reçoivent un cadeau.
1) J'ai décidé que 1 et 2 auraient 2 cadeaux et que 3, 4 et 5 en auraient 1. Le nombre de répartitions possibles de mes cadeaux est indépendant de l'ordre dans lequel je vais offrir mes cadeaux à mes enfants: je peux commencer par donner ses deux cadeaux à 1 ou son cadeau à 4, ça ne change rien. Je choisis de servir en premier le 1, puis les 2, 3, 4, 5 dans cet ordre.
Pour le 1 je peux choisir 2 cadeaux parmi 7; si ça compte pour lui l'ordre dans lequel je lui tends, l'un après l'autre, ses deux cadeaux, il y a $7*6$ choix possibles, mais si il s'en fiche il y a $C_7^2$ possibilités. Bien que l'énoncé ne spécifie pas clairement que l'ordre dans lequel sont distribués ses cadeaux à un enfant est sans importance, on peut supposer que c'est implicite.
Une fois que 1 est servi, il reste $C_5^2$ choix pour 2, puis $C_3^1$ pour 3, $C_2^1$ pour 4 et $C_1^1$ pour 5.
Finalement, le nombre de distributions possibles est, dans ce cas particulier où 1et 2 sont bien servis, 3,4,5 assez bien et les autres pas du tout:
$C_7^2 C_5^2C_3^1C_2^1C_1^1$
2)Il y a $C_{10}^2$ façons de choisir les deux enfants que l'on privilégiera, puis $C_8^3$ façons de choisir les 3 enfants qui auront un cadeau exactement.Le nombre total de distributions possibles du type $22111$ est donc
$C_{10}^8C_8^3C_7^2 C_5^2C_3^1C_2^1C_1^1$ = $10! 7/8$
PS1: Le message de Jacquot dont je parle (salut Jacquot!) est son premier message.
PS2:Pardon d'avoir inondé ce fil de messages illisibles par suite de mes inaptitudes en Latex.
PS3: Comment se fait-il que les géniaux inventeurs de Latex n'aient pas pensé que ses utilisateurs ne le sont pas toujours (géniaux) et qu'ils n'aient pas songé, lorsqu'on demande son aperçu, à le donner jusqu'à la première incohérence? Il y bien des chances que cette question soit inepte! Sait-on jamais!
PS4:Merci à qui a supprimé mon inondation, me tirerait-il la langue!
Quand j'ai, comme toi, des soucis de LaTeX refusé,
Je fais des aperçus avant de poster.
Je procède par couper-coller à partir de la fin du message,
Si tu vois ce que je veux dire...
Amicalement. jacquot
Par rapport à la présentation de Jacquot, il y a bien une remultiplication ensuite par 2 de $C_7^2\times C_5^2/2$, pour faire intervenir l'ordre des enfants (et non l'ordre des cadeaux à chaque enfant, ce n'est pas ce que je voulais dire). Bref, j'avais lu trop vite.
Au fait, pour Itsobi, quelle solution différente (résultat) était donnée initialement ?
Amicalement
Paul