somme des premiers termes

finsangel
finsangel
dans Combinatoire et Graphes
Bonjour à tous
Pourriez-vous m'aider à résoudre le problème suivant ?

J'ai besoin de calculer la somme des premiers termes dans une suite de nombre combinatoire. $$
C_n^1+C_n^2+\ldots+C_n^p
$$ Je ne sais vraiment pas comment calculer pour un $p < n$.
Merci beaucoup de votre aide.

Réponses

  • Pascal Ostermann
    Pascal Ostermann
    Mais tu ne peux pas faire ton boulot~?

    Je vois au moins trois idées pour résoudre le problème -- l'une utilisant le triangle de Pascal.

    Toi, tu ne vois que de le faire résoudre par nous autres.

    Pascal Ostermann
  • enonce
    enonce
    En général, il n'y a pas de "forme close" pour la somme $\displaystyle \sum_{j=0}^p \binom{n}{j}$ pour $p < n$.

    Lire par exemple l'article "Sommes partielles de coefficients binomiaux" dans le Quadrature n°87 du 1er trimestre 2013.
  • finsangel
    finsangel
    Salut Pascal,

    Mais comment??? Avec la méthode de Pascal, je ne vois pas comment tu peux calculer la somme des premiers termes....
  • Raymond Cordier
    Raymond Cordier
    Il y a une forme close pour $\underset{j=0}{\overset{p}{\sum }}(-1)^{j}(_{j}^{n})$.
    Pour la question posée, on pourrait chercher sur l'OEIS avec $p=2$, $p=3$, etc. Moi, j'ai la flemme.
    Bonne journée.
    RC
    20/09/2013
  • enonce
    enonce
    Qu'il y ait une forme close pour la somme alternée, c'est bien connu (et c'est aussi indiqué dans l'article que j'ai mis en référence). En revanche, je le répète, pas de formule connue à ce jour pour les sommes non alternées.

    Une autre bonne référence : les tables de Gould (1972), déjà évoquées souvent ici.
  • pdepasse
    pdepasse
    Pascal,

    Toujours ton sens de l'humour un tantinet sarcastique!
  • Raymond Cordier
    Raymond Cordier
    En effet, la forme close pour la somme alternée des coefficients binomiaux est bien connue de ceux qui la connaissent (et réciproquement), et elle l'était même probablement avant la parution de l'article de "Quadrature". En tout cas, elle figurait dans les feuilles d'exercices que je donnais à mes élèves depuis, disons, un quart de siècle environ. Elle sera désormais connue des lecteurs de ces messages qui comme moi n'auraient pas lu cet article (négligence coupable ...).
    Je saisis l'occasion pour signaler qu'elle est valable pour les coefficients binomiaux généralisés : $\underset{k=0}{\overset{p}{\sum }}(-1)^{k}(_{k}^{x})= ...$, avec $p\in \N$ et $x\in \C$. Ma première colle de l'année 2013-14 en MP m'a fait voir que trop d'élèves ignorent encore cette généralisation, pourtant très utile.
    Bonne journée.
    RC
    20/09/2013
  • pdepasse
    pdepasse
    Bonjour,

    pour $p < n$,
    $\displaystyle \sum_{j=0}^p \binom{n}{j} = (n-p) \binom{n}{p} \int_{1}^{2} t^p (2 -t) ^{n-p-1}\, \mathrm{dt} $

    d'aprés Louis Comtet, 1970, page 91.
    Cordialement
    Paul
  • mph
    mph
    Cette égalité est écrite sous forme générale dans le Comtet en question (mais non démontrée), démontrée dans l'article de Quadrature (entre autres) et aussi sur ce forum par Juge TI il y a quelques temps.

    Mais ce n'est pas une forme close.
  • Raymond Cordier
    Raymond Cordier
    quelque temps
  • finsangel
    finsangel
    Merci beaucoup de vos réponses. Je pense que la formule est suffisante pour le calcul. Je vais aller voir la démonstration de cette formule.

    C'est très belle comme formule.
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