Multiples de 3 à quatre chiffres
[Titre initial : exercice
Efforçons-nous de choisir un titre plus explicite. j]
bonsoir ,
j'ai un petit exo que je ne parviens pas à trouver un raisonnement
soit E={1,2,3,4,5,6,7,8,9}
quel est le nombre des nombres à 4 chiffres qu'on peut crééer à partir de E avec et sans repetition à condition qu'il soit divisible par 3
Efforçons-nous de choisir un titre plus explicite. j]
bonsoir ,
j'ai un petit exo que je ne parviens pas à trouver un raisonnement
soit E={1,2,3,4,5,6,7,8,9}
quel est le nombre des nombres à 4 chiffres qu'on peut crééer à partir de E avec et sans repetition à condition qu'il soit divisible par 3
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Réponses
Avec répétition ce n'est pas bien difficile:
tu peux choisir les trois pemiers chiffres au pif, mais pour le dernier chiffre, le choix sera plus restreint pour valider le critère de divisibilité par 3.
Cela t'aide-t-il?
Pour le cas des tirages sans remise ou sans répétions, le dénombrement me semble plus compliqué...
Si on s'interdit la répétition de chiffres, le dénombrement me semble bien compliqué:
Je procèderais comme suit:
je ne m'intéresse d'abord qu'aux restes de la division par 3
si dans une urne, on a trois boules portant le chiffre 0, trois boules portant le chiffre 1 et trois boules portant le chiffre 2, combien y a-t-il de tirages qui donnent un multiple de trois?
Aux permutations près, les solutions sont 0012 ; 0111 ; 0222 ; 1122.
Maintenant, il faut voir de combien de façons on peut tirer chacune de ces solutions et de combien, de façons on peut permuter leurs chiffres.
Quelqu'un a-t-il une démarche plus simple ?
C'est cette méthode qui m'est venue en premier en lisant la question mais il y a beaucoup plus simple.
Si N est le nombre d'entier à 4 chiffres distincts (entre 1 et 9) la réponse est $\dfrac N3$.
Démonstration: la bijection qui remplace chaque chiffre par son successeur (et 9 par 1) envoie $A_0$ sur $A_1$, $A_1$ sur $A_2$ et $A_2$ sur $A_0$ ($A_r$ désignant l'ensemble des nombres congrus à $r$ modulo 3).
J'avais effectivement remarqué que le nombre total de mes solutions était égal à $A_9^4 /3$,mais sans arriver à l'expliquer proprement...
Bravo.