Coefficients binomiaux et combinatoire

butagaz
butagaz
dans Combinatoire et Graphes
Bonjour,

Quelqu'un connaîtrait-il une preuve combinatoire de l'identité $k\dbinom{n}{k}=n\dbinom{n-1}{k-1}$ ?

Merci d'avance.

Réponses

  • aléa
    aléa
    Les deux comptent le nombre de couples $(x,A)$ avec $x\in A$, $|A|=k$ et $A\subset\{1,\dots,n\}$.

    Soit on choisit $A$ puis $x$, soit on choisit $x$, puis $A\backslash\{x\}$.
  • Vincent
    Vincent
    Est-ce que choisir k éléments parmi n puis un élément parmi k, ce ne serait pas la meme chose que choisir un élément parmi n et (k-1) éléments parmi (n-1). Sans doute pas tout à fait, mais pas loin, non ?
  • jacquot
    jacquot
    Si tu sais que $\dbinom n p = \dfrac {n!}{p!(n-p)!}$, ce n'est pas difficile...
  • Vincent
    Vincent
    Grillé par aléa ! ;-)
  • depasse
    depasse
    @Jacquot
    je trouve que ta preuve n'est pas "combinatoire", bien que ce mot ne soit nulle part défini!(:P)
    Amicalement
    Paul
  • tonton golden
    tonton golden
    L'entraîneur d'une équipe dispose de n joueurs.
    Il doit constituer pour jouer sur le terrain une équipe de k joueurs et y désigner un capitaine.

    Il commence par choisir k joueurs parmi n puis il choisit le capitaine parmi les k joueurs sur le terrain :
    Nombre de possibilités : ( k parmi n ) * ( 1 parmi k ) .

    Il commence par choisir le capitaine parmi n puis il choisit les k - 1 parmi les n - 1 joueurs restants :
    Nombre de possibilités : ( 1 parmi n ) * ( k - 1 parmi n - 1 ) .

    Cordialement.
  • jacquot
    jacquot
    @pdepasse
    Bah si,
    De mon ( notre) temps, cette formule était obtenue pa division du nomre d' arrangements par le nombre de façons de les permuter.

    Mais de nos jours...
  • butagaz
    butagaz
    Merci pour vos réponses.
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