Cardinal et tirages de boules
Bonsoir, j'aurais besoin d'un petit coup de patte pour mon exo de Math.
"Une urne avec a boules blanches et b boules noires. Les boules blanches (resp noires) sont indiscernables entre elles. Tirage successif, sans remise"
1) nombres de tirages possibles -> j'ai trouvé (a + b ) !
2) soit Ek l'ensemble des tirages qui amènent la dernière boule blanche en k-ième position. Donner les valeurs possibles pour k et déterminer le cardinal de Ek
-> j'ai dit que k appartenait à l'intervalle [a ; a+b ]
-> J'ai ensuite dit qu'il fallait choisir a-1+b boules parmi a-1+b boules ce qui me fait (a-1+b) ! choix
-> On choisit la dernière boule : 1 choix
-> On choisit la place de cette dernière boule. Mais là ça me ferait un truc du genre " on choisit la place parmi [a ; a+b ], et je ne crois pas que ça soit possible d'utiliser un intervalle de cette façon.
Où est-ce que j'ai faux s'il vous plait ? ^^
"Une urne avec a boules blanches et b boules noires. Les boules blanches (resp noires) sont indiscernables entre elles. Tirage successif, sans remise"
1) nombres de tirages possibles -> j'ai trouvé (a + b ) !
2) soit Ek l'ensemble des tirages qui amènent la dernière boule blanche en k-ième position. Donner les valeurs possibles pour k et déterminer le cardinal de Ek
-> j'ai dit que k appartenait à l'intervalle [a ; a+b ]
-> J'ai ensuite dit qu'il fallait choisir a-1+b boules parmi a-1+b boules ce qui me fait (a-1+b) ! choix
-> On choisit la dernière boule : 1 choix
-> On choisit la place de cette dernière boule. Mais là ça me ferait un truc du genre " on choisit la place parmi [a ; a+b ], et je ne crois pas que ça soit possible d'utiliser un intervalle de cette façon.
Où est-ce que j'ai faux s'il vous plait ? ^^
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Réponses
D'accord jusque là.
Ensuite, je ne te suis plus. Notons $k=a+p$ ou $p=a-k$ avec $0\leqslant p\leqslant b$
$p=0$ signifie que tu tires d'abord toutes les blanches , puis toutes les noires .
le nombre de possibilités est $N_0= a! \times b!$
$p=1$ signifie que tu tires une boule noire parmi les $a$ premières boules tirées
tu as $a$ choix possibles pour la position de cette boule donc le nombre de choix sera $N_1=a\times a!\times b!$
Pour $p=2$ tu tires 2 boules noires parmi les $(a+1)$ premières boules tirées.
Tu as $C_{a+1}^2$ choix possibles pour leur position, donc le nombre de choix sera...
Essaye de continuer...
Je doute un peu de ton p=1 : Pour les a premières boules, il y a une noire et a-1 boules blanches, ce qui fait $a\times (a-1)!=a!$ façon de les placer. Mais il y a b façons de choisir la boule noire et a façons de choisir la boule blanche qui sortira ensuite. Puis il y a $b!$ façons de placer les $b$ boules restantes.
Me trompé-je ?
Cordialement.
Je ne suis pas sûr de bien comprendre ta démarche, mais je crois que tu te trompes: reprenons ton texte :
Pour les $a$ premières boules, il y a une noire et $a-1$ boules blanches, ce qui fait $a\times (a-1)!=a!$ façon de les placer. Mais il y a $b$ façons de choisir la boule noire et $a$ façons de choisir la boule blanche qui sortira ensuite. Puis il y a $\red (b-1)!$ façons de placer les $\red (b-1)$ boules restantes.
Soit, au total
$a! \times b\times a\times (b-1)!$
ce qui conduit au résultat que j'indique plus haut.
Mon raisonnement est un peu différent:
je compte d'abord le nombre de façons d'intercaler une (ou $p$) boule(s) noire(s) parmi les $k-1$ premières boules, puis je multiplie par $a! \times b!$, le nombre de façons de remplir ces emplacements.
Amicalement. jacquot
Désolé.
En suivant votre logique, je trouve
*N2 = a ! x b ! x a² x (a - 1) et
*N3 = a ! b ! a^3 x (a - 1 ) ² (a - 2)
Je ne vois pas comment je peux généraliser =S
Je ne peux pas valider tes résultats
Ça veut dire que tu n'as pas bien compris la démarche que je propose.
J'essaye de préciser mes explications:
$N_2$ est le nombre des tirages tels que la $(a+2)^{ième}$ boule est la dernière boule blanche tirée.
Pour calculer $N_2$, je calcule d'abord le nombre de facons de placer les 2 boules noires parmi les $a+2-1$ premières boules : c'est $C_{a+1}^2$.
Mais peut-être as-tu l'habitude de noter lce nombre de combinaisons $\binom {a+1}{2}$.
Maintenant, à relire l'énoncé dans ton premier post, je m'aperçois que tu (nous) a(von)s compliqué inutilement ce dénombrement, puisqu'on te dit que seule la couleur permet de discerner les boules, mais que les blanches (resp. noires) sont indiscernables entre elles.
Du coup, je te conseille de tout reprendre du début:
1) Le nombre de tirages possibles est le nombre de facons de choisir $a$ (ou $b$) boules blanches (ou noires) parmi $a+b$ boules...
Désolé, ça m'apprendra aussi à mieux lire l'énoncé...
Amicalement. jacquot
Oui je veux bien reprendre la question 1) car j'ai vu aujourd'hui avec mon professeur et je me suis rendue compte que mon ( a+ b) ! n'était pas juste.
Voila mon raisonnement, plus que maigre malheureusement.
Quand on choisit les boules dans a (resp b), on ne tient pas compte de l'ordre et il n'y a pas de répétitions.
Quand on choisit parmi les (a + b ) boules, on tient compte de l'ordre et il n'y a pas de répétitions.
On choisit a boules parmi a => 1 façon
On choisit b boules parmi b => 1 façon
On choisit la place des a boules parmi les (a+b) boules sans ordre ni répétitions -> (a + b ) ! / a ! x b!
On choisit la place des b boules parmi les (a+b) boules sans ordre ni répétitions -> (a + b ) ! / 2 x a !
En suivant mon idée (que je suppose fausse encore une fois ... ) on arriverait à card(E) = ((a + b ) ! / a ! x b! ) x ((a + b ) ! / 2 x a ! )
Or j'ai fait le test avec des stylos et le résultat serait plutôt
card(E) = ((a + b ) ! / a ! x b! ) + ((a + b ) ! / 2 x a ! )
Donc bref je nage un peu, je me mélange avec cette histoire d'ordre, surtout que je ne sais plus si je dois choisir parmi a , b ou (a+b) ...
On aurait donc card (E) = ((a + b ) ! / a ! x b! ) x b
J'espère que c'est ça, parce que ça fonctionne pour mon test avec mes crayons x)
Qu'as-tu fait avec tes crayons? :S
Prenons un exemple: a=6 b=4.
1) Combien de tirages distincts possibles ?
2) a) Combien de tirages tels que la dernière boule blanche tirée soit la sixième ?
2) b) La septième ?
2) c) La huitième ?
etc.
Amicalement. jacquot
et on rajoute les 4 boules
Et on les rajouteras sans ordre ni répétition ...
Est ce que par hasard ça ne serait pas tout simplement
a + b ) ! / a ! x b!
? Vu que quand on doit rajouter b on choisit b boules parmi les b restantes donc cela fait 1 .
Passe maintenant aux questions suivantes !
J'ai fait le test avec 5 boules, 3 blanches, et 2 noires et j'ai cherché à la main E5, E4 et E3 et j'ai trouvé les résultat qui correspondaient par le calcul ! Et ça a fait que j'ai réussi à faire la dernière !!
Youpiii !!! =D
Merci de votre aide !! ^-^