Nombre de grilles minimum au loto.

Pour $2$ numero, appelle $N_2$ le nombre de grilles qui contiennent au maximum un seul bon numero. En jouant $N_2+1$ grilles, on est certain d'etre gagnant au moins une fois. Le nombre de grilles qui ne contiennent aucun bon numero est $\binom{49-5}{5}$. Le nombre de grilles qui contiennent exactement un seul bon numero est $5 \times \binom{49-5}{4}$. Ainsi $N_2 = \binom{49-5}{5} + 5 \times \binom{49-5}{4}=1764763$. Il suffit donc de jouer $1764764$ pour etre certain de gagner.

Bonjour,
Je n'ai pas la réponse à la question, mais voici une petite contribution, histoire de faire remonter le fil.
Je m'intéresse toujours aux grilles à deux numéros gagnants au moins.
On peut par exemple remarquer que toute grille contiendra forcément une paire de nombres de même parité, donc on peut se contenter de jouer toutes les paires de même parité.
De plus on peut ignorer le 49 et le 48: parmi les 3 autres numéros restant à tirer, il y en a nécessairement deux qui ont la même parité.

Le nombre de grilles à jouer est donc majoré par $\dfrac {47\times 23}{2}$ c'est à dire $\boxed{611}$.
Mais ce score peut être largement amélioré puisqu'on peut cocher 5 numéros pas grille...

La question s'orienterait plutôt vers la stratégie: comment composer les grilles de façon à utiliser au mieux les 5 cases ?

Moi : 144, en utilisant tes idées et le fait suivant qui remplace la parité :
Le principe des tiroirs nous dit que dans une grille de 5 nombres il y en a toujours deux qui ont même reste dans la division par 4.

En bidouillant un peu à la marge, 121 :
66 grilles $\{49,1+4k,1+4\ell,2+4k,2+4\ell\}$ avec $k<\ell$ paire d'entiers entre 0 et 11.
Indexons par $i$ entre 0 et 44 les paires d'entiers $k_i<\ell_i$ entre 0 et 9.
10 grilles $\{43,47,3+4i,4+4k_i,4+4\ell_i\}$ pour $i$ entre 0 et 9
10 grilles $\{3+4k_i,3+4\ell_i,44,48,4+4i\}$ pour $i$ entre 0 et 9
35 grilles $\{3+4k_i,3+4\ell_i,4+4k_i,4+4\ell_i,49\}$ pour $i$ entre 10 et 44.
On doit pouvoir encore rogner.

Oui, AitJoseph,

Les règles du Loto français on changé
depuis 2008, on tire 6 boules parmi 49, puis une dernière (numéro chance ) parmi 10.
De prime abord, on pourrait penser qu'il est plus facile d'avoir tout bon, mais le calcul montrera que la proba est passée de 1/14 millions à 1/19 millions environ.

Amicalement. jacquot

Le tirage de 5 sur 49 existe chez nous et s'appelle le Milliardo,le Loto 6 sur 49 existe toujours !la valeur des mises est modique par rapport aux jeux en France.
Je crois que c'est moins de 121.


Amicalement

C'est au fond un problème de recouvrement d'espace métrique par des boules de rayon donné. La distance entre deux grilles est 5 moins le cardinal de leur intersection, et on cherche à recouvrir l'ensemble des grilles par des boules fermées de rayon 3.
Le cardinal de l'espace est 1906884, le cardinal de chaque boule est 142121, donc il faut surement au moins 14 boules. Qui dit mieux pour la borne inférieure ?
De l'autre côté, 116 suffit. Mais je laisse samok montrer comment il fait avec moins de 100.

Joli, jacquot !

Bonjour

Ce nombre est au moins égal à 40,évident

Merci,
j'avais réfléchi entre temps et trouvé ceci:

Pour les congrus à 1 modulo 4, de la forme 1+4k, je définis le droites comme suit

Bonsoir


J'ai démontré que ce nombre est 14.


Non ,pardon une erreur de calcul,je suis sur le bon chemin


Bonne nuit

AitJoseph nous met la pression!

Avec l'utilisation du 5è digit, j'en suis à $\boxed {38}$ grilles
Mais je perds un peu de la belle organisation géométrique des solutions de LtDrogo.
Voilà:
Pour les nombres de la forme $\{1+4k\}_{0\leqslant k\leqslant 12}$, on composera les grilles en regroupant les valeurs de $k$ comme suit:
(0 1 2 3 4) (0 5 6 7 8) (0 9 10 11 12)
(1 3 5 6 9) ( 2 4 6 7 10) (3 6 7 11 12)
(2 4 7 8 12) (1 2 7 8 9 ) (3 5 8 10 12)
(1 8 10 11 12) (2 4 5 9 11), soit 11 grilles
par exemple, la dernière parenthèse définit la grille $\{9 ; 17 ; 21 ; 37 ; 45\}$

pour les nombres de la forme $\{2+4k\}_{0\leqslant k\leqslant 11}$
ou $\{3+4k\}_{0\leqslant k\leqslant 11}$ ou $\{4+4k\}_{0\leqslant k\leqslant 11}$
On composera les grilles en choisissant $k$ dans les "droates" suivantes:
(0 2 3 4 11) (5 6 7 8 9) (3 4 7 10 11)
(1 3 5 8 10) ( 1 4 6 9 11) (0 2 6 9 10)
(2 4 5 8 11) ( 0 1 2 5 7 ) (0 3 6 8 9 ), soit 3 fois 9 grilles.
[small](j'appelle ces ensembles de droates, parce que par deux points passe toujours une droate, mais on n'a pas l'unicité...)[/small]

Ces solutions ne sont pas jolies, la vérification est fastidieuse, mais le record est battu...
Peut-être y a-t-il moyen d'améliorer le premier jeu (nombres de la forme 1+4k)...

Merci pour le lien, Zo! et bonne nuit.

Bonjour,

Pour les grilles à 2 bons numéros,
J'ai construit mes solutions en alignant d'abord mes nombres pour en un rectangle 4x3 pour la première famille et 0 à l'infini et en essayant de décrire des alignements, mais j'ai ensuite perdu la structure géométrique en essayant de saturer au mieux mes grilles à 5 numéros, les deux dernières "droates" étant constituées du ramassis de ce qui n'avait pas encore été casé.

Pour les trois autres familles, je suis plutôt parti de la moitié d'un plan (affine?) 5x5, les droites incomplètes laissant de la place pour d'autres morceaux, mais j'ai fini par bidouiler un max., donc il y a peu d'espoir de généraliser la méthode. Tout au plus pourra-t-on essayer d'améliorer le score.

Pour les grilles à 3 bons numéros, j'ai compris comme toi que les plans auraient plus que 5 points, donc c'est râpé, semble-t-il.
Cependant, on pourra faire valoir que pour tout tirage de 5 numéros, il y en a nécessairement trois qui ont la même parité. Ça constitue déjà un début...

@ suivre. jacquot

Rebonjour

Prendre le cas particulier

n= 49

p= 5

m=2

ça manque un peu de figures dans vos géométries bizarroïdes.

Merci pour ta fraicheur sieur Jacquot, je relirai ce fil pendant les vacances de Noël.

S

Bonjour


Je crois qu'on ne peut pas descendre au dessous de 34.Au Maroc,l'ancien Loto 6/49 existe toujours. Le nouveau Loto est le jeu 5/ 50 (Milliardo) en jouant des grilles de 5 et un numéro chance parmi 10 chiffres de 1 à 10 .L'événement deux numéros n'est pas gagnant !!! par contre un bon numéro et un numéro chance: oui !!! A cause de ces changements tous mes anciens calculs sont brouillés,et ce fil me donne l'envie de recommancer à zéro,avec ce climat,le froid et le brouillard,c'est la période propice: C'est de l'analyse combinatoire très difficile. Attention les seuils minimum diffèrent suivant les sites,c'est une question de concurrence..... à une certaine époque ces seuils n'étaient pas connus ou cachés........
J'ai beaucoup aimé le modèle géométrique projectif de Jacquot.Si Zoo peut nous parler de ces espaces métriques?
Je n'ai joué que très rarement aux jeux de hazard,mais ces Mathématiques sont très belles.
La formule d'inclusion- exclusion donne de jolis résultats.

Bonne fin de semaine

Le minorant 14 prouvé ? Je n'en ai pas vu d'autre pour le moment. Si ?

Moulay ZO

le minorant 14 est faux,lis la suite de mon intervention,et les em ?


AJ Réducteur

AitJoseph, tu deviens lourd. Passe encore que tu annonces au petit bonheur des trucs contradictoires, mais tu devrais tout de même être capable de comprendre des démonstrations élémentaires, comme celle du fait que 14 est un minorant.

C'est 34 et non pas 38,Bravo Jacquot pour ta combativité.Mais de toute façon le jeu n'est rentable.


Cordialement

Bonjour LtDrogo & co,

$\boxed {37}$ sera le score du jour, et nous saurons l'améliorer

Pour ce faire, je voudrais vous associer à la recherche.
L'un des derniers messages de message de LtDrogo m'a guidé vers une idée nouvelle:
Au lieu de partager notre espace de 49 points en 4 classes d'effectifs à peu près égaux suivant la congruence des numéros modulo 4, on pourrait faire un partage en 4 classes ont on choisira les effectifs en essayant d'optimiser pour une cetaine fonction $\mathcal D$

Pour tout espace de $n$ points, j'appelle $\mathcal D (n)$ le cardinal minimal d'une famille de 5-droates telles que pour toute paire de points de l'espace, il existe au moins une 5-droate qui passe par ces deux points.

Je connais certaines valeurs de $\mathcal D$ avec certitude, d'autres moins...
$\mathcal D(5)=1$ ; $\mathcal D(6)=2$ ; $\mathcal D(7)=3$
$\red \mathcal D(11)\leqslant 7$ (*); $ \mathcal D(12)\leqslant 9$ ; $ \mathcal D(13)\leqslant 11$ ; $ \mathcal D(14)\leqslant 13$
$ \mathcal D(21)\leqslant 21$

Je partage maintenant notre ensemble de 49 numéros du Loto en 4 espaces d'effectifs 21, 11 ; 11; 6
D'apès le principe des tiroirs, tout tirage de 5 numéros du Loto présentera au moins deux numéros dans un même sous-espace parmi les 4 définis ci-dessus
Or $ \mathcal D(21)+\mathcal D(11)+\mathcal D(11)+\mathcal D(6)\leqslant 21+2\times 7 +2 =37$

A présent, je ne désespère pas d'atteindre le score de 34 annoncé par le site que tu as mis en lien...

(*) Je justifie cette affirmation cruciale par une figure et une liste plus bas.

Voudrez-vous m'aider à trouver les valeurs de la fonction $\mathcal D$ entre 8 et 21, du moins essayer de la majorer?
J'espère que le petit progrès du jour vous motivera...
Amicalement. jacquot

PS Ce message comporte une faute: $\mathcal D(6)=3$ le score de 37 ne peut pas être atteint de cette façon, mais la méthode nous permettra de progresser.(voir la suite)

@Jacquot

Sans faire de calcul,au Loto on a plus de chance.


https://fr.wikipedia.org/wiki/Georges-Louis_Leclerc_de_Buffon#L.E2.80.99aiguille_de_Buffon



@LtDrogo

Biensûr le calcul Mathématique est beaucoup plus important que le gain:curiosité Mathématique.


Cordialement