Simplifier g(x)
Bonjour !
Je suis en terminale et j'ai trouvé beaucoup de difficulté pour résoudre l'exercice suivant :
G(x) = arctan(2x/(1-x2)) - 2 arctanx I=] 1,+infini[
1) Calculer g'(x) avec x appartenant à I.
2) Déduire la simplification de g(x).
J'ai fait la première question mais je n'ai rien su faire devant la deuxième.
Merci de pouvoir m'aider !
Je suis en terminale et j'ai trouvé beaucoup de difficulté pour résoudre l'exercice suivant :
G(x) = arctan(2x/(1-x2)) - 2 arctanx I=] 1,+infini[
1) Calculer g'(x) avec x appartenant à I.
2) Déduire la simplification de g(x).
J'ai fait la première question mais je n'ai rien su faire devant la deuxième.
Merci de pouvoir m'aider !
Réponses
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Que vaut la dérivée de $G$?
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La première question était la partie difficile, que vaut g' aprés simplification?
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Je crois que c'es bizarre mais j'ai trouvé g'(x) = 0
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Si, c'est ça!
Donc g est constante, reste à calculer sa valeur. -
Donc g (x) = k, k appartenant à R
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On connaît $\tan \dfrac {\pi}{3}$.
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En calculant les limites de arctan(2x/(1-x2)) et arctanx en l'infini. Puis calculé g.
Je ne vois pas de valeur de ] 1,+infini[ adaptée. -
En
Donnant n'importe quelle valeur de I à x je trouve g (x)= Pi. -
J'imagine que tu n'es pas en terminale en France car aux dernières nouvelles la fonction arctan n'y est pas enseignée.
J'imagine que si on s'intéresse à la fonction arctan on connait une formule pour tan(2x) et plus généralement pour tan(x+y) -
J'ai fais un dessin ( enfin Geogebra a fait un dessin), non sur l'interval ] 1,+infini[ c'est négatif.
-
En effet je suis au Maroc, et encore l'arctan n'est enseigné qu'à la filière sciences mathématiques.
Les formules tan (x+y) être tan2x pourraient m'aider dans la résolution de l'exercice ? -
Non, soit on connait une valeur comme le dit @Cidrolin soit on calcul en +infini.
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Sans doute mais on te demande de suivre une autre méthode. Tout ce qui te faut pour résoudre cette question est déjà indiqué dans ce fil de discussion.
En effet, Pi/3>1 -
Donc si j'ai bien compris dans ce genre d'exercices je dois soit donner une valeur à x soit calculer là limite en infini.
Mais donc, pourquoi choisir exactement Pi/3 ? J'arrive pas à comprendre -
A $x$ on ne donne pas la valeur $ \dfrac {\pi}{3}$, mais la valeur de $\tan \dfrac {\pi}{3}$.
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En dérivant g, tu as montré que g est une fonction constante.
Il te restait à déterminer quelle est cette constante.
Il te faut être capable de calculer g(x) pour une valeur de x bien choisie et qui est dans l'intervalle I.
Il semble que tan(Pi/3)>1 te permette de déterminer cette constante.
[Corrigé selon ton indication ;-) j ] -
pardon, mais il s'agit de tan(Pi/3)>1 et pas de Pi/3.
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En principe, n'importe quelle valeur de x>1 conviendrait mais on ne sait pas évaluer g(x) directement pour toutes ces valeurs.
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Effectivement si je veux éviter la calculatrice tan Pi/3 est idéal (surtout que le prof interdit l'utilisation de la calculatrice dans certains DS. ..)
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La calculatrice ne donne que des valeurs approchées, elle ne peut pas servir à calculer la constante demandée par un calcul direct.
Cela permet, au mieux, de se faire une idée du résultat et rien de plus. -
En l'infini :
arctan(x) tend vers PI/2
2x/(1-x2) tend vers 0
arctan(2x/(1-x2)) tend vers 0 aussi ( arctan(x) est contini en 0 et vaut 0 ).
Donc arctan(2x/(1-x2)) - 2 arctan(x) "tend" vers 0 - 2PI/2 = -PI.
Finalement g(x)=-PI sur ] 1,+infini[ -
Pour utiliser la valeur tan(Pi/3) suggérée par Cidrolin, il faut connaître la formule qui donne tan(2x) en fonction de tan(x) sauf erreur.
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Sauf erreur, je ne trouve pas du tout le même résultat que Soleil_vert.
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Exact Il faut connaître la formule tan2x
En remplaçant x par tanPi/3 j'ai finis par trouver g(x)= -Pi -
Il n'y a pas besoin de connaître la formule tan(2x)... il suffit de connaître les valeurs de tan(pi/3) et tan(pi/6), et de les voir apparaître "naturellement".
-
J'ai du faire une erreur de calcul.
Si on prend $x=\tan \dfrac {\pi}{3}$
On a que:
$\arctan\Big( \dfrac {2x}{1-x^2}\Big)= \dfrac {2\pi}{3}$ sauf erreur.
Tandis que:
$\arctan(x)=\dfrac {\pi}{3}$ et ainsi:
$\arctan\Big( \dfrac {2x}{1-x^2}\Big)-2\arctan(x)=0$ -
Si on prend $ x= \tan \dfrac \pi 3$,alors $x=\sqrt3$
Donc $\dfrac {2x}{1-x^2}= \dfrac{2 \sqrt 3}{-2}=-\sqrt 3 $ -
J'ai donc du faire une erreur dans l'utilisation de la formule tan(2x)
PS:
Damned! I'm demasqued. -
Je comprends mon erreur.
$\dfrac{2\pi}{3}$ n'appartient pas à l'intervalle $J=\Big]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\Big[$.
Mais $\tan\Big(\dfrac{2\pi}{3}\Big)=\tan\Big(\pi-\dfrac{\pi}{3}\Big)=\tan\Big(-\dfrac{\pi}{3}\Big)$
Et $-\dfrac{\pi}{3}$ appartient à l'intervalle $J$
Donc:
Si $x=\tan \dfrac {\pi}{3}$
alors $\arctan\Big( \dfrac {2x}{1-x^2}\Big)= -\dfrac {\pi}{3}$
et:
$\arctan\Big( \dfrac {2x}{1-x^2}\Big)-2\arctan(x)=-\dfrac{\pi}{3}-2\times\dfrac{\pi}{3}=-\pi$
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