Suites récurrentes linéaires d'ordre 2
Bonjour,
Si $(u_n)_{n\ge0}$ est une suite récurrente d'ordre 2 elle est définie par ces deux premiers termes $u_0$ et $u_1$ et par une relation de récurrence :
$$\forall n\ge0, u_{n+2}=au_{n+1}+bu_n : a,b\in\R.$$
On cherche à caractériser l'ensemble $E_{a,b}$ des suites vérifiant cette relations
On vérifie facilement que la suite géométrique $(\lambda^n)$ est dans $E_{a,b}$ si et seulement si $\lambda$ est solution de l'équation caractéristique $X^2=aX+b$.
Suivant le signe du discriminant $\Delta$ du trinôme $X^2-aX+b$, on détermine les solutions de l'équation caractéristique.
Par exemple si $\Delta>0$ on a deux solution $\lambda_1$ et $\lambda_2$ puis en remarquant que $E_{a,b}$ est un espace vectoriel de dimension 2 (une suite de $E_{a,b}$ est uniquement déterminée par ses deux premier termes $u_0$ et $u_1$,) on montre que que tous les éléments de $E_{a,b}$ sont des combinaisons linéaires des suites géométriques indépendantes dans $E_{a,b}$ : $(\lambda_1^n)$ et $(\lambda_2^n)$.
Question : Comment retrouve-t-on ce résultat sans utiliser la notion de base ?
Si $(u_n)_{n\ge0}$ est une suite récurrente d'ordre 2 elle est définie par ces deux premiers termes $u_0$ et $u_1$ et par une relation de récurrence :
$$\forall n\ge0, u_{n+2}=au_{n+1}+bu_n : a,b\in\R.$$
On cherche à caractériser l'ensemble $E_{a,b}$ des suites vérifiant cette relations
On vérifie facilement que la suite géométrique $(\lambda^n)$ est dans $E_{a,b}$ si et seulement si $\lambda$ est solution de l'équation caractéristique $X^2=aX+b$.
Suivant le signe du discriminant $\Delta$ du trinôme $X^2-aX+b$, on détermine les solutions de l'équation caractéristique.
Par exemple si $\Delta>0$ on a deux solution $\lambda_1$ et $\lambda_2$ puis en remarquant que $E_{a,b}$ est un espace vectoriel de dimension 2 (une suite de $E_{a,b}$ est uniquement déterminée par ses deux premier termes $u_0$ et $u_1$,) on montre que que tous les éléments de $E_{a,b}$ sont des combinaisons linéaires des suites géométriques indépendantes dans $E_{a,b}$ : $(\lambda_1^n)$ et $(\lambda_2^n)$.
Question : Comment retrouve-t-on ce résultat sans utiliser la notion de base ?
Réponses
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bonjour
tu peux en effet retrouver ce résultat c'est-à-dire $u_n = Ar^n_1 + Br^n_2$
avec A et B constantes réelles telles que $u_0 = A + B$ et $u_1 = Ar_1 + Br_2$
par les méthodes classiques qui ne font pas intervenir la notion d'espace vectoriel
tu pars de $u_{n+2} - au_{n+1} - bu_{n} = 0$
et tu considères $r_1$ et $r_2$ les racines distinctes de l'équation du second degré $r^2 - a.r - b = 0$
ton équation récurrente devient : $u_{n+2} - (r_1 + r_2)u_{n+1} + r_1.r_2.u_n = 0$ soit encore :
$u_{n+2} - r_1.u_{n+1} - r_2(u_{n+1} - r_1u_n) = 0$
tu poses $v_{n+2} = u_{n+2} - r_1u_{n+1}$ qui est une nouvelle suite liée à la première
et ton équation récurrente devient : $v_{n+2} - r_2.v_{n+1} = 0$ avec $v_2 = u_2 - r_1u_1 = (a - r_1)u_1 + bu_0$
tu reconnais une suite géométrique de raison $r_2$ et de terme initial $v_2$ soit : $v_{n+2} = v_2.(r_2)^n$
et donc $u_{n+2} = v_2(r_2)^n + r_1u_{n+1}$
il s'agit d'une nouvelle équation récurrente en $u_{n+2}$
que tu descends jusqu'à l'indice $2$ après avoir prémultiplié par $r_1$ à chaque ligne
tu sommes par colonne de ton tableau et après simplification (termes télescopiques)
et utilisation de la somme de termes en progression géométrique de raison $\frac{r_1}{r_2}$
tu tombes sur une expression de $u_n$ en fonction de $u_0$, $u_1$, $r_1$, $r_2$ et $n$
qui est celle que tu connais avec $A = \frac{r_1u_0 - u_1}{r_1 - r_2}$ et $B = \frac{r_2u_1 - u_0}{r_2 - r_1}$
soit $$u_n = Ar^n_1 + Br^n_2$$
cordialement -
Tu peux montrer que la suite $v$ définie par $\forall n\in\mathbb{N}, v_n=u_{n+1}-\lambda_1 u_n$ est géométrique de raison $\lambda_2$ par exemple, puis considérer $w_n=\frac{v_n}{\lambda_1^n}$ et faire une somme pour obtenir une expression de $u_n$.
-
Merci beaucoup pour vos réponses c'est ce que je cherchais.
Cdt.
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