Une intégrale
dans Analyse
Je suis à la recherche de méthodes pour le calcul de $\displaystyle \int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\dfrac{x}{\tan x}dx$
(sa valeur est $\dfrac{\pi}{2}\log(2)$ sauf erreur)
(j'ai une méthode pour la calculer qui introduit un paramètre dans l'intégrale, je me demande s'il n'y a pas une méthode plus simple)
(sa valeur est $\dfrac{\pi}{2}\log(2)$ sauf erreur)
(j'ai une méthode pour la calculer qui introduit un paramètre dans l'intégrale, je me demande s'il n'y a pas une méthode plus simple)
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
e.v.
Il faudrait préciser ce que tu entends par-là.
PS:
Je n'ignore pas que la derivée de $\log(\sin x)$ est $\dfrac{1}{\tan x}$
e.v.
J'ai confondu $\log(\sin x)$ et $\log(\cos x)$ :-S
PS: Je cherchais comment passer de cette intégrale à $\displaystyle \int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} \log(\sin x)dx=\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} \log(\cos x)dx$
Voilà qui est fait, merci bien. :-)
e.v.
Cette discussion est un peu surréaliste. l'IPP fonctionne très bien à condition de connaître "l'astuce" qui permet de calculer $\displaystyle \int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} \log(\sin x)dx$
Je m'en rends compte maintenant. B-)-
Pour le calcul de l'intégrale qui apparait, pas de problème, je l'ai déjà fait dans un autre fil. :-)
(voir ici: http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,998265 )
A partir de cette intégrale on peut déduire, entre autres, la valeur de $\displaystyle \int_0^1\arctan(x)^2\,dx$ B-)-
$\displaystyle \int_0^1\arctan(x)^2\,dx$ ?
Si c'est le "x", l'IPP fonctionne.
$\displaystyle \int_0^1\Big(\arctan(x)\Big)^2 dx$
Cette intégrale est reliée à celle qui ouvre ce fil de discussion.
On fait le changement de variable $u=\tan x$ il vient:
$I=\displaystyle \int_0^{+\infty} \dfrac{\arctan x }{x(1+x^2)}dx$
$I=\displaystyle \int_0^1 \dfrac{\arctan x }{x(1+x^2)}dx+\int_1^{+\infty} \dfrac{\arctan x }{x(1+x^2)}dx$
Dans la deuxième intégrale, dans le membre de droite, on fait le changement de variable $u=\dfrac{1}{x }$ il vient:
$I= \displaystyle\int_0^1 \dfrac{\arctan x }{x(1+x^2)}dx+ \int_0^1 \dfrac{x\arctan \Big(\dfrac{1}{x}\Big) }{1+x^2}dx$
On a pour $x>0$ l'égalité $\arctan \Big(\dfrac{1}{x}\Big)+\arctan x=\dfrac{\pi}{2}$ ainsi:
$I= \displaystyle\int_0^1 \dfrac{\arctan x }{x(1+x^2)}dx+\dfrac{\pi}{2}\int_0^1\dfrac{x}{1+x^2}dx-\int_0^1\dfrac{x\arctan x}{1+x^2}dx$
Or:
$\dfrac{1}{x(1+x^2)}=\dfrac{1}{x}-\dfrac{x}{1+x^2}$
Ainsi:
$I=\displaystyle\int_0^1 \dfrac{\arctan x }{x}dx-\displaystyle\int_0^1 \dfrac{x\arctan x }{1+x^2}dx+\dfrac{\pi}{2}\int_0^1\dfrac{x}{1+x^2}dx-\int_0^1\dfrac{x\arctan x}{1+x^2}dx$
Donc:
$I=\displaystyle\int_0^1 \dfrac{\arctan x }{x}dx-2\displaystyle\int_0^1 \dfrac{x\arctan x }{1+x^2}dx+\dfrac{\pi}{4}\Big[\log(1+x^2)\Big]_0^1$
et:
$I=\displaystyle\int_0^1 \dfrac{\arctan x }{x}dx-2\displaystyle\int_0^1 \dfrac{x\arctan x }{1+x^2}dx+\dfrac{\pi}{4}\log(2)$
Or:
La dérivée de la fonction $(\arctan x)^2$ est $\dfrac{2\arctan x }{1+x^2}$
Donc:
$I=\displaystyle\int_0^1 \dfrac{\arctan x }{x}dx-\Big(\big[ x(\arctan x)^2\big]_0^1-\int_0^1 (\arctan x)^2 dx \Big)+\dfrac{\pi}{4}\log(2)=\displaystyle\int_0^1 \dfrac{\arctan x }{x}dx-\dfrac{\pi^2}{16}+\int_0^1 (\arctan x)^2 dx$
Or $I=\dfrac{\pi}{2}\log(2)$ donc:
$$\displaystyle\int_0^1 (\arctan x)^2 dx=\dfrac{\pi^2}{16}-G+\dfrac{\pi}{4}\log(2)$$
Où $\displaystyle G=\int_0^1 \dfrac{\arctan x }{x}dx$ est la constante de Catalan.
$I=\displaystyle \int_0^\tfrac{\pi}{2}\dfrac{x}{\tan x }dx$