Suite délicate
Bonjour,
Soient $u_0$ et $u_1$ >0 on considère la suite définie par : \[u_{n+2}=\frac{1}{2} \left( \frac{1}{u_{n+1}}+\frac{1}{u_{n}} \right) \]
Etudier la convergence.
Je veux montrer que $u$ converge vers $1$. Pour cela j'ai montré qu'elle est bornée, ce qui me permet de jouer avec les valeurs d'adhérence dont je note $\ell$ la plus petite et $L$ la plus grande.
Je suis arrivé à $L=\frac{1}{\ell}$ et puis en effectuant des extractions successives on arrive à $\ell =L=1$. Ce qui l'intrigue, c'est une méthode proposée en "indication", que je n'ai pas suivi :
1. Montrer que les intervalles $[\alpha,\frac{1}{\alpha}]$ (alpha < 1) sont stables par la suite (au sens où si deux valeurs consécutives y sont, la suivante aussi) et on note $\alpha_n$ le plus grand de ces $\alpha$ tel que : \[u_n,u_{n+1}\in \left[\alpha_n,\frac{1}{\alpha_n}\right] \]
2. Montrer que $(\alpha_n)$ est croissante.
3. Trouver un minorant et majorant de $u_{n+1}$ en fonction de $\alpha_n$ et conclure.
Les questions 1 et 2 c'est ok, mais je vois pas la 3 ...
Merci de votre aide !
Soient $u_0$ et $u_1$ >0 on considère la suite définie par : \[u_{n+2}=\frac{1}{2} \left( \frac{1}{u_{n+1}}+\frac{1}{u_{n}} \right) \]
Etudier la convergence.
Je veux montrer que $u$ converge vers $1$. Pour cela j'ai montré qu'elle est bornée, ce qui me permet de jouer avec les valeurs d'adhérence dont je note $\ell$ la plus petite et $L$ la plus grande.
Je suis arrivé à $L=\frac{1}{\ell}$ et puis en effectuant des extractions successives on arrive à $\ell =L=1$. Ce qui l'intrigue, c'est une méthode proposée en "indication", que je n'ai pas suivi :
1. Montrer que les intervalles $[\alpha,\frac{1}{\alpha}]$ (alpha < 1) sont stables par la suite (au sens où si deux valeurs consécutives y sont, la suivante aussi) et on note $\alpha_n$ le plus grand de ces $\alpha$ tel que : \[u_n,u_{n+1}\in \left[\alpha_n,\frac{1}{\alpha_n}\right] \]
2. Montrer que $(\alpha_n)$ est croissante.
3. Trouver un minorant et majorant de $u_{n+1}$ en fonction de $\alpha_n$ et conclure.
Les questions 1 et 2 c'est ok, mais je vois pas la 3 ...
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Réponses
On commence par la bornitude, on cherche $A,B$ tel que si $A \le u_n,u_{n+1} \le B$ alors $u_{n+2}$ aussi et finalement on trouve qu'il suffit de prendre $B=1/A$ et $A$ tel que $A \le u_0,u_1 \le 1/A$.
Ensuite on prend $\ell$ et $L$ les plus grande et plus petite valeurs d'adhérence. on prend $\phi$ extraction tq $u_{\phi (n)} \to L$ et quitte à réextraire moult fois, $u_{\phi(n)-1}$ et $u_{\phi(n)-2}$ convergent vers $\ell_1$ et $\ell_2$ et alors : \[2L=1/\ell _1+1/\ell _2 \ge 2/\ell\] et donc $\ell L \ge 1$ de même en recommençant avec $\ell$ au lieu de $L$ on a l'inégalité inverse de sorte que $\ell L=1$. Puis on reprend $\phi$ extraction tq $u_{\phi (n)} \to L$ et quitte à réextraire trois fois, $u_{\phi(n)-1}$ et $u_{\phi(n)-2}$ et $u_{\phi(n)-3}$ convergent vers $\ell_1$ et $\ell_2$ et $\ell_3$ Alors on a : $2L=1/\ell _1+1/\ell _2$ qui donne $\ell_1=\ell_2=\ell$ et $2\ell=2\ell_1 = 1/\ell_2+1/\ell_3$ et donc $\ell_2=\ell_3=L$ et donc $\ell=L=1$
JeroM : Oui j'ai modifié