équation différentielle

tatof · November 2014

Bonsoir
Je prends le problème de Dirichlet homogène:

$-u''+u=f,\quad u(0)=u(1)=0$ sur $I=]0,1[$

Je peux voir ce problème comme une équation différentielle du second ordre mais dans ce cas le théorème de Lax-Milgram nous donne la solution particulière de notre équation.
Mais dans ce cas quelle sera la forme $a(u,v)$ (bilinéaire, continue, symétrique) à prendre ? De même pour le convexe et l'espace de Hilbert, comment les choisir ?
Merci.

tatof · November 2014

Je me permet de relancer car je ne vois toujours pas

remarque · November 2014

La forme bilinéaire c'est $a(u,v)=\int_0^1(u'v'+uv)\,dx$ (elle n'a pas a être symétrique), la forme linéaire $l(v)=\int_0^1fv\,dx$, l'espace de Hilbert, c'est $H^1_0(]0,1[)$. Il n'y a pas de convexe dans Lax-Milgram.

tatof · November 2014

oui ca je le sais.
ce que je voulais savoir c'est pourquoi n'utilise-t-on pas cette technique si elle nous permet d'avoir une solution particulière de notre équation différentielle? Est ce parce que nous ne somme pas forcément dans un Hilbert ou bien parce qu'un ne peut toujours pas trouver $a(u,v)$?

remarque · November 2014

tatof a écrit:

Mais dans ce cas quelle sera la forme $a(u,v)$ (bilinéaire, continue, symétrique) à prendre ? De même pour le convexe et l'espace de Hilbert, comment les choisir ?

tatof a écrit:

oui ca je le sais.

Il faudrait savoir ce que tu sais...

Tryss · November 2014

oui ca je le sais. ce que je voulais savoir c'est pourquoi n'utilise-t-on pas cette technique si elle nous permet d'avoir une solution particulière de notre équation différentielle? Est ce parce que nous ne somme pas forcément dans un Hilbert ou bien parce qu'un ne peut toujours pas trouver $a(u,v)$?

Plusieurs raisons (entre autre) :
1) La solution de Lax-Milgram est sous forme d'une équation fonctionnelle, elle n'est pas explicite (on sait "juste" que c'est la fonction qui vérifie le minimum d'une fonctionnelle simple).
2) On n'est effectivement pas toujours dans un Hilbert. Par exemple, si on cherche la solution dans les fonctions C^2.

remarque · November 2014

Les fonctions $C^2$ sont quand même bien incluses dans les fonctions $H^1$. On récupérera la classe $C^2$ par régularité elliptique, qui est une trivialité en dimension 1. Ca serait plutôt si on voulait moins que $H^1$, c'est-à-dire des seconds membres moins réguliers que $H^{-1}$ qu'il faudrait vraiment s'y prendre autrement. Ceci dit, il y a d'autres méthodes : fonction de Green, méthode de tir, qui permettent aussi de traiter ces questions dans un cadre plus ou moins régulier.

remarque · November 2014

D'ailleurs, je me demande si la question ne provient d'une confusion entre problème aux limites et problème de Cauchy. On parle plutôt de solution générale dans le cadre du problème de Cauchy. Ici, c'est une edo linéaire à coefficients constants, on a la formule de Duhamel pour exprimer la solution générale avec une intégrale. Il n'y aura jamais de solution générale explicite avec un $f$ quelconque.

équation différentielle

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