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Fonction C^infini

Envoyé par fanf 
Fonction C^infini
il y a cinq années
Bonjour,

Je cherche un moyen élémentaire de montrer que la fonction $x\mapsto \dfrac{\sin(x^2)}{x}$ est dans $\mathcal{C}^{\infty}(\R)$.

En effet, en utilisant un développement en série entière on obtient le résultat -mais je souhaite encore plus élémentaire-.
On peut montrer facilement "à la main" que $f$ est prolongeable par continuité en $0$ (taux d'accroissement), puis qu'elle est dans $\mathcal{C}^1(\R)$ (étude de la limite de $f'(x)$ en $0$)... Mais je bloque pour généraliser ceci.
Par exemple, en utilisant la formule de Leibniz je ne trouve pas de formule simple donnant la dérivée $n$-ème afin d'en étudier la limite en $0$.
Avez-vous des idées ?
Fanf



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq années et a été effectuée par AD.
Re: Fonction C^infini
il y a cinq années
On a $f(x) = x \displaystyle \int_0^1 \cos(ux^2)du$. Après, il suffit d'appliquer les théorèmes de dérivabilité sous le signe $\int$.
Re: Fonction C^infini
il y a cinq années
Citation

en utilisant un développement en série entière on obtient le résultat -- mais je souhaite encore plus élémentaire

C'est pourtant l'idéal. A part les polynômes, les fonctions analytiques sont la liqueur la plus précieuse contenue dans l'ensemble des $C^\infty$.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Fonction C^infini
il y a cinq années
Merci à tous les deux. En fait pour tout dire, je souhaitais utiliser cette fonction pour des étudiants en 1ere année (sans DSE ou dérivation sous le signe $\int$...).
Peut être qu'il faut que je change d'idée...
Re: Fonction C^infini
il y a cinq années
avatar
Est-ce que tes étudiants connaissent une des formules de Taylor pour le sinus ? (reste intégrale par exemple)



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq années et a été effectuée par Siméon.
Re: Fonction C^infini
il y a cinq années
Non malheureusement pas encore
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