Fonction C^infini
Bonjour,
Je cherche un moyen élémentaire de montrer que la fonction $x\mapsto \dfrac{\sin(x^2)}{x}$ est dans $\mathcal{C}^{\infty}(\R)$.
En effet, en utilisant un développement en série entière on obtient le résultat -mais je souhaite encore plus élémentaire-.
On peut montrer facilement "à la main" que $f$ est prolongeable par continuité en $0$ (taux d'accroissement), puis qu'elle est dans $\mathcal{C}^1(\R)$ (étude de la limite de $f'(x)$ en $0$)... Mais je bloque pour généraliser ceci.
Par exemple, en utilisant la formule de Leibniz je ne trouve pas de formule simple donnant la dérivée $n$-ème afin d'en étudier la limite en $0$.
Avez-vous des idées ?
Fanf
Je cherche un moyen élémentaire de montrer que la fonction $x\mapsto \dfrac{\sin(x^2)}{x}$ est dans $\mathcal{C}^{\infty}(\R)$.
En effet, en utilisant un développement en série entière on obtient le résultat -mais je souhaite encore plus élémentaire-.
On peut montrer facilement "à la main" que $f$ est prolongeable par continuité en $0$ (taux d'accroissement), puis qu'elle est dans $\mathcal{C}^1(\R)$ (étude de la limite de $f'(x)$ en $0$)... Mais je bloque pour généraliser ceci.
Par exemple, en utilisant la formule de Leibniz je ne trouve pas de formule simple donnant la dérivée $n$-ème afin d'en étudier la limite en $0$.
Avez-vous des idées ?
Fanf
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Réponses
C'est pourtant l'idéal. A part les polynômes, les fonctions analytiques sont la liqueur la plus précieuse contenue dans l'ensemble des $C^\infty$.
Peut être qu'il faut que je change d'idée...