Compacité d'un ensemble

phibre
phibre
dans Analyse
Bonjour
on m'a soumis une quesion posée lors d'une épreuve de Master 1 à laquelle j'ai du mal à répondre.
"On considère pour L>0 posé, Q(L) l'ensemble des quadrilatères de longueur L. Montrer qu'il existe N de IN* tel que Q(L) puisse être considéré comme un compact de [IR][/N]."
J'ai supposé qu'on travaillait dans l'espace affine euclidien classique auquel cas j'ai ramené N à 8 ( 4 couples de coordonnées). J'ai justifié la fermeture comme image réciproque de {L} par l'application continue "longueur" (en appliquant quatre fois la formule de Pythagore) mais je bloque sur le caractère borné.
merci de vos réponses

Réponses

  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Tout dépend de ce qu'on appelle quadrilatère : l'énoncé est incomplet. Identifie-t-on les quadrilatères "superposables" (image l'un de l'autre par un déplacement) ?
  • phibre
    phibre
    effectivement le sujet est incomplet mais il est posé comme tel. Le but du problème est de déterminer pour un périmètre donné le quadrilatère qui a la plus grande aire. On se restreint juste en question préliminaire, au début du problème, aux quadrilatères convexes.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    On peut alors supposer qu'un de sommets est l'origine.
  • phibre
    phibre
    oui bien sûr voire même que l'un des autres est sur un axe en se ramenant à ce cas par isométries ce qui qu'au lieu de prendre N=8, on prend N=5 mais ça ne résout pas mon problème de compacité
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Bien sûr que si, si tu réfléchis un peu !
  • phibre
    phibre
    bah j'ai réfléchi et je ne trouve pas sinon je ne viendrai pas ici... j'ai déjà la fermeture du moins je pense, c'est le caractère borné de l'ensemble Q(L) qui me pose problème. Il y a peut-être une évidence que je ne vois pas...
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Avec un sommet fixe et un périmètre borné ?
  • phibre
    phibre
    oui périmètre fixé
  • Tryss
    Tryss
    Est ce que par hasard tout les points de Q(L) ne serraient pas contenus dans une boule de rayon L/2 ?
  • phibre
    phibre
    en travaillant dans IR^5 avec la norme euclidienne?
  • Tryss
    Tryss
    C'est plus simple de le voir avec la norme infinie (sinon ça n'est pas L/2)
  • phibre
    phibre
    ok
    effectivement, je ne l'avais pas envisagé
    merci
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    C'est tout de même un manque singulier de bon sens ! Tu as une boucle en ficelle de longueur $L$ (le périmètre) dont tu fixes un point et la "bornitude" ne te saute pas aux yeux ?
  • phibre
    phibre
    désolé si je n'ai pas de bon sens et si ma question était bête
    merci en tout cas à Tryss pour la simplicité et la gentillesse de sa réponse
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Ta question n'était pas bête, mais ton obstination à ne pas voir l'évidence un peu surprenante.
    Juste une précision : avec la norme euclidienne, tous les sommets d'un polygone de périmètre $L$ dont l'origine est un sommet sont bien dans la boule de rayon $L/2$ (le bon sens de la ficelle !), contrairement à ce qu'écrit Tryss.
  • Tryss
    Tryss
    GaBuZoMeu
    Les sommets du polygone, oui, mais pas le polygone (vu comme un point de $\R^6$)
    De fait, ils sont contenus dans la boule de rayon $\frac{\sqrt{3}}{2}L$

    [Inutile de recopier le message précédent. AD]
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Si tu parles du point de $\R^6$, OK (j'ai plutôt tendance à penser $(\R^2)^3$).
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