Compacité d'un ensemble
Bonjour
on m'a soumis une quesion posée lors d'une épreuve de Master 1 à laquelle j'ai du mal à répondre.
"On considère pour L>0 posé, Q(L) l'ensemble des quadrilatères de longueur L. Montrer qu'il existe N de IN* tel que Q(L) puisse être considéré comme un compact de [IR][/N]."
J'ai supposé qu'on travaillait dans l'espace affine euclidien classique auquel cas j'ai ramené N à 8 ( 4 couples de coordonnées). J'ai justifié la fermeture comme image réciproque de {L} par l'application continue "longueur" (en appliquant quatre fois la formule de Pythagore) mais je bloque sur le caractère borné.
merci de vos réponses
on m'a soumis une quesion posée lors d'une épreuve de Master 1 à laquelle j'ai du mal à répondre.
"On considère pour L>0 posé, Q(L) l'ensemble des quadrilatères de longueur L. Montrer qu'il existe N de IN* tel que Q(L) puisse être considéré comme un compact de [IR][/N]."
J'ai supposé qu'on travaillait dans l'espace affine euclidien classique auquel cas j'ai ramené N à 8 ( 4 couples de coordonnées). J'ai justifié la fermeture comme image réciproque de {L} par l'application continue "longueur" (en appliquant quatre fois la formule de Pythagore) mais je bloque sur le caractère borné.
merci de vos réponses
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
effectivement, je ne l'avais pas envisagé
merci
merci en tout cas à Tryss pour la simplicité et la gentillesse de sa réponse
Juste une précision : avec la norme euclidienne, tous les sommets d'un polygone de périmètre $L$ dont l'origine est un sommet sont bien dans la boule de rayon $L/2$ (le bon sens de la ficelle !), contrairement à ce qu'écrit Tryss.
Les sommets du polygone, oui, mais pas le polygone (vu comme un point de $\R^6$)
De fait, ils sont contenus dans la boule de rayon $\frac{\sqrt{3}}{2}L$
[Inutile de recopier le message précédent. AD]