Ensemble dense dans un e.v.n.

Bonsoir,

soit $ \phi : v \mapsto u $ où $ v_n = u_n + u_{n + 1} $. On note $ U = \{u_n, n\geq 0\} $ et $ V = \{v_n, n\geq 0\} $. Comme l'image réciproque continue d'un fermé est un fermé, il suffit de montrer que $ \phi^{-1}(E) = E $ et l'on aura alors

$ \overline{ V } = \overline{\phi^{-1}(U) } = \phi^{-1}\left(\overline{ U }\right) = \phi^{-1}(E) = E $

la deuxième égalité étant le théorème et la dernière ce qu'il faut démontrer.

Il faut donc "inverser" $ u \mapsto v $ ce qui se fait en multipliant par $ (-1)^n $ et en sommant (car si $ w_n = (-1)^n u_n $, on voit apparaître des "dominos").

En prenant $E = \ell^1(\N;\R)$ et $u_n = \delta_n$, tous les $v_n$ sont dans le noyau de la forme linéaire continue non nulle
$$
x \mapsto \sum_{n=0}^\infty (-1)^n x_n.
$$

En faite c'est quoi $\delta_n$?

$\delta_n$ est la suite dont tous les termes sont nuls excepté celui de rang $n$ qui vaut $1$. L'ensemble de ces suites engendre le sous-espace des suites à support fini qui est dense dans $\ell^1$.

Mais D était un sous-ensemble dense au direct ...

En tout cas. @marco Ce n'est pas vrai pour tous les cas...