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Ensemble dense dans un e.v.n.

Envoyé par marco 
Ensemble dense dans un e.v.n.
il y a quatre années
avatar
Bonjour,

Soit $E$ un espace vectoriel normé, et soit $D$ un sous-ensemble dénombrable dense dans $E$ ($D=\{u_n|n \in \mathbb{N}\}$). Soit $(v_n)$ la suite à valeur dans $E$, définie par $v_n=u_n+ u_{n+1}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Est-ce que l'ensemble $\{v_n| n\in \mathbb{N}\}$ engendre un sous-espace vectoriel dense dans $E$ ?



Merci d'avance.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par marco.
Re: Ensemble dense dans un e.v.n.
il y a quatre années
avatar
Disons chaque element de E est limite de 1/2 (v_n)
Re: Ensemble dense dans un e.v.n.
il y a quatre années
Bonsoir,

soit $ \phi : v \mapsto u $ où $ v_n = u_n + u_{n + 1} $. On note $ U = \{u_n, n\geq 0\} $ et $ V = \{v_n, n\geq 0\} $. Comme l'image réciproque continue d'un fermé est un fermé, il suffit de montrer que $ \phi^{-1}(E) = E $ et l'on aura alors

$ \overline{ V } = \overline{\phi^{-1}(U) } = \phi^{-1}\left(\overline{ U }\right) = \phi^{-1}(E) = E $

la deuxième égalité étant le théorème et la dernière ce qu'il faut démontrer.

Il faut donc "inverser" $ u \mapsto v $ ce qui se fait en multipliant par $ (-1)^n $ et en sommant (car si $ w_n = (-1)^n u_n $, on voit apparaître des "dominos").
Re: Ensemble dense dans un e.v.n.
il y a quatre années
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Merci Amaury. Je n'ai pas compris comment tu définis $\Phi$ car $E$ n'est pas un espace de suites.
Re: Ensemble dense dans un e.v.n.
il y a quatre années
avatar
En prenant $E = \ell^1(\N;\R)$ et $u_n = \delta_n$, tous les $v_n$ sont dans le noyau de la forme linéaire continue non nulle
$$
x \mapsto \sum_{n=0}^\infty (-1)^n x_n.
$$
Re: Ensemble dense dans un e.v.n.
il y a quatre années
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Ce $\{u_n\}$ est-il dense dans $E$?
Re: Ensemble dense dans un e.v.n.
il y a quatre années
avatar
En faite c'est quoi $\delta_n$?
Re: Ensemble dense dans un e.v.n.
il y a quatre années
avatar
je crois suite a support fini et rationnelle ?
Re: Ensemble dense dans un e.v.n.
il y a quatre années
avatar
$\delta_n$ est la suite dont tous les termes sont nuls excepté celui de rang $n$ qui vaut $1$. L'ensemble de ces suites engendre le sous-espace des suites à support fini qui est dense dans $\ell^1$.
Re: Ensemble dense dans un e.v.n.
il y a quatre années
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D'accord
Re: Ensemble dense dans un e.v.n.
il y a quatre années
avatar
Mais D était un sous-ensemble dense au direct ...
Re: Ensemble dense dans un e.v.n.
il y a quatre années
avatar
Oui, $D$ est un sous-ensemble dense.
Re: Ensemble dense dans un e.v.n.
il y a quatre années
avatar
En tout cas. @marco Ce n'est pas vrai pour tous les cas...



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par AD.
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