Ensemble dense dans un e.v.n.
Bonjour,
Soit $E$ un espace vectoriel normé, et soit $D$ un sous-ensemble dénombrable dense dans $E$ ($D=\{u_n|n \in \mathbb{N}\}$). Soit $(v_n)$ la suite à valeur dans $E$, définie par $v_n=u_n+ u_{n+1}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Est-ce que l'ensemble $\{v_n| n\in \mathbb{N}\}$ engendre un sous-espace vectoriel dense dans $E$ ?
Merci d'avance.
Soit $E$ un espace vectoriel normé, et soit $D$ un sous-ensemble dénombrable dense dans $E$ ($D=\{u_n|n \in \mathbb{N}\}$). Soit $(v_n)$ la suite à valeur dans $E$, définie par $v_n=u_n+ u_{n+1}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Est-ce que l'ensemble $\{v_n| n\in \mathbb{N}\}$ engendre un sous-espace vectoriel dense dans $E$ ?
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Réponses
soit $ \phi : v \mapsto u $ où $ v_n = u_n + u_{n + 1} $. On note $ U = \{u_n, n\geq 0\} $ et $ V = \{v_n, n\geq 0\} $. Comme l'image réciproque continue d'un fermé est un fermé, il suffit de montrer que $ \phi^{-1}(E) = E $ et l'on aura alors
$ \overline{ V } = \overline{\phi^{-1}(U) } = \phi^{-1}\left(\overline{ U }\right) = \phi^{-1}(E) = E $
la deuxième égalité étant le théorème et la dernière ce qu'il faut démontrer.
Il faut donc "inverser" $ u \mapsto v $ ce qui se fait en multipliant par $ (-1)^n $ et en sommant (car si $ w_n = (-1)^n u_n $, on voit apparaître des "dominos").
$$
x \mapsto \sum_{n=0}^\infty (-1)^n x_n.
$$