Exercice intégrales
Bonjour à tous, j'aurais besoin d'un petit coup de pouce pour cet exercice :
Soit f la fonction définie par : Intégrale de x à 2x : 1 / racine(t^4 + t^2 + 1) dt
1) Quel est le domaine de définition de f ? Est-elle paire, impaire ?
Je suppose qu'elle est définie sur R, je vois pas de valeur interdite... Après j'ai jamais été confronté à ce genre d'intégrale, peut-on "remplacer" le paramètre "t" de la fonction par les bornes de l'intégrale "x" et "2x" ?
Je donnerais les autres questions après avoir compris la 1).
Merci d'avance,
Soit f la fonction définie par : Intégrale de x à 2x : 1 / racine(t^4 + t^2 + 1) dt
1) Quel est le domaine de définition de f ? Est-elle paire, impaire ?
Je suppose qu'elle est définie sur R, je vois pas de valeur interdite... Après j'ai jamais été confronté à ce genre d'intégrale, peut-on "remplacer" le paramètre "t" de la fonction par les bornes de l'intégrale "x" et "2x" ?
Je donnerais les autres questions après avoir compris la 1).
Merci d'avance,
Réponses
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Après j'ai jamais été confronté à ce genre d'intégrale, peut-on "remplacer" le paramètre "t" de la fonction par les bornes de l'intégrale "x" et "2x" ?
:-S Drôle d'idée!
En fait "t" n'est pas un paramètre mais une variable muette.
On peut écrire toute autre lettre à la place, sauf "x" qui est utilisé ailleurs.
Le "x" aux bornes est celui de la fonction, il détermine l'interval d'intégration [x,2x] (ou [2x,x] si x<0) de l'expression 1 / racine(t^4 + t^2 + 1). -
Donc pour calculer l'intégrale de x à 2x de 1 / racine(t^4 + t^2 + 1) dt,il suffit de calculer la primitive de g(t) = 1/ racine(t^4 + t^2 + 1) entre x et 2x, c'est à dire G(2x) - G(x) comme n'importe qu'elle fonction ?
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Exactement Crapi !
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OUI
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Sauf que l' exercice ne te ne demande pas de calculer la primitive (et heureusement car c' est impossible de la calculer explicitement avec des fonctions classiques) mais cela ne t' empêche pas de répondre à la question sur la parité ;-)
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Pour la parité, j'ai trouvé qu'elle était impaire par changement de variable u = - t et à la fin je me retrouve avec f(-x) = -f(x). Par contre pour son domaine de définition, c'est bien R+ non ?
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Bonjour,
[Edit: soleil vert a effacé son message. j ]soleil_vert a écrit:
Non!j'ai trouvé qu'elle était impaire par changement de variable u = - t
Euh, si ? Avec tes notations, $f(x) = \int_{x}^{2x} g(t) {\rm d}t$ et, comme $g$ est paire, le changement de variable « $u = -t$ » donne
$$f(-x) = \int_{-x}^{-2x} g(t) {\rm d}t = - \int_{x}^{2x} g(u) {\rm d}u = - f(x).$$
Crapi, pourquoi ${\bf R}_+$ ? Ça te gène d'écrire
$$\int_{-3}^{-6} \frac{1}{\sqrt{t^4 + t^2 + 1}} {\rm d}t$$
? -
Ok, je suis fatigué.
Elle est impaire de dérivée paire logique. -
2x doit forcément être supérieur à x, donc x doit être toujours positif non ?
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Crapy,
Que penses-tu du signe de 1+t²+t^4? -
Crapi écrivait:
> 2x doit forcément être supérieur à x, donc x
> doit être toujours positif non ?
Pourquoi "forcément" ? Même avec les définitions de terminale on peut intégrer
de -2 à -4.
Cordialement. -
NON. Revois ton cours :$\int_{3}^{2}\frac{dt}{t}$ existe bel et bien.
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Je présume que les questions d'après consistent à étudier variations et limites de la fonction $f$, ce n'est pas trop dur, sauf le point d'inflexion d'abscisse positive qui demande de résoudre une équation de degré 16 si je ne me trompe, c'est un peu beaucoup pour ma p'tite tête. Les esclaves électroniques pourront faire ça à notre place je pense.
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La réponse étant OUI! , on en déduit aussi qu'on n'a pas l'obligation de supposer $b>a$ pour écrire $\displaystyle \int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)$ où $f$ est une fonction définie et continue sur l'intervalle d'extrémités $a,b$ et $F$ une primitive de $f$ sur le même intervalle.
Par contre, si on cherche un encadrement de cette intégrale, connaissant un encadrement de $f(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle d'extrémités $a,b$, il faut savoir, sauf erreur, si on a $a>b$ ou $b>a$ (dans le cas où $a=b$ l'intégrale est nulle) -
Au final, j'ai compris que b peut être supérieur à a mais pour déterminer son domaine de définition j'suis pas plus avancé...
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Bon tout le monde n'est pas obligé de faire des math, il y a d'autres manières d'occuper une place dans la société, voir mon récent message sur la nécessaire diversification de notre système d'enseignement ....
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Ben, la question est : existe-t-il une valeur de $x$ telle que l'intégrale n'est pas définie ?
Quel est le domaine de définition de $g$ ? où est-elle continue ? ( le message de zorg69 avait pour but de t'emmener sur ce terrain) sur quels intervalles $[a,b]$ la fonction $g$ est-elle intégrable ?
C'est curieux que tu bloques là dessus, il n'y a pourtant rien à faire. Quel est ton niveau ? -
J'suis en deuxième année de licence math mais par correspondance, sans prof c'est tout de suite plus dur pour comprendre les nouvelles notions...
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Ok. Normalement, tu as le niveau pour répondre à toutes mes questions (c'est du niveau lycée ou L1)
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Bonjour Crapi.
On peut t'aider à comprendre les nouvelles notions, mais ce n'est pas le problème ici, puisque ton exercice, au départ, est du niveau terminale S.
Donc tu peux éventuellement étudier ton cours, et quand tu ne comprends pas un passage, après avoir bien repris ce qui précède, venir demander des éclaircissements.
Mais pour ton exercice, tu as depuis le début (ton deuxième message) la réponse qui te permet de répondre à la question du domaine de définition de f (Rappel du cours de seconde : Le domainre de définition de f est l'ensemble des valeurs x pour lesquelles on peut calculer f(x)).
A toi ... -
J'vais essayé de faire mon maximum alors sachant que j'ai de grosses lacunes.
Alors, pour répondre à tes questions GreginGre :
Quel est le domaine de définition de g ?
R, car g(x) est définie que si t^4 + t^2 + 1 > 0
Où est-elle continue ?
R aussi car toutes fonctions rationnelles est continue en tout point ou elle est définie.
Sur quels intervalles [a,b] la fonction g est-elle intégrable ?
Je sais que toutes fonctions monotones sont intégrables, donc j'ai pensé à dériver g(x) et fais le tableau de variation.
Du coup au final j'ai g'(x) positif de ] -inf, 0[ et négatif de ]0, +inf[,
D'où donc g(x) croissante de ]-inf, 0[ et décroissante de ]0, + inf[.
Donc elle est intégrable sur ]-inf, 0[ u ]0, + inf[. -
Oui, mais est-ce le cas ? Tu devrais éviter de confondre la condition avec la vérification de cette condition (C'est peut-être un problème de français, alors essaie de vraiment répondre à la question.Crapi a écrit:car g(x) est définie que si t^4 + t^2 + 1 > 0
Et pas les continues ? Et tu n'as pas intégré des fonctions très simplement en terminale ?Je sais que toutes fonctions monotones sont intégrables,
A ton avis, pourquoi la question sur la continuité ?
Enfin, pourquoi éliminer 0 de l'intégrabilité ?
Cordialement. -
> Oui, mais est-ce le cas ?
Oui, pour n'importe quels t réels, t^4 + t^2 + 1 > 0, donc g(x) est définie sur R.
> Et pas les continues ?
Les fonctions continues par morceaux si c'est vrai.
> Et tu n'as pas intégré des fonctions très simplement en terminale ?
Ça remonte à quelques années, j'ai plus beaucoup de souvenirs, désolé...
> Enfin, pourquoi éliminer 0 de l'intégrabilité ?
Oui c'est vrai...la dérivée s'annulait en 0, j'ai pensé qu'il fallait l'éliminer. -
Ta fonction est continue, donc intégrable sur n'importe quel intervalle borné. Tu dois avoir ça dans ton cours de cette année.
Cordialement. -
Donc le domaine de définition de f(x) c'est R ?
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OUI !!
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Je voudrais que tu clarifies un point. Il faut qu'une fonction soit continue et strictement positive sur un intervalle $[a,b]$ avec $b>a$ deux réels, pour qu'on puisse parler de l'intégrale de cette fonction sur cet intervalle? -
Je vois que j'ai peut-être bien fait de poser la question. B-)-
Mais en effet, ce qui pourrait empêcher de pouvoir intégrer sur un intervalle la fonction de ton énoncé est qu'elle ne soit pas définie pour toutes les valeurs de l'intervalle sur laquelle on l'intègre (là où elle serait définie, elle serait continue, dans le cas d'espèce) mais ici, il n'y a aucun problème, cette fonction est définie et continue sur $\mathbb{R}$ tout entier.
Par contre, si j'ai bien compris ta réponse, il n'est pas nécessaire qu'une fonction soit monotone pour qu'on puisse l'intégrer sur un intervalle $[a,b]$.
Ce qui est sûr est qu'il y a une condition suffisante (mais pas nécessaire) pour qu'on puisse intégrer une fonction sur un intervalle $[a,b]$ avec $b>a$ deux réels: qu'elle soit définie et continue sur cet intervalle. -
Ah oui...une fonction définie et continue sur $[a,b]$ prouve l'intégrabilité, mais une fonction intégrable sur $[a,b]$ n'est pas nécessairement définie et continue sur $[a,b]$. Merci pour cette précision Fin de partie.
Je me suis avancé sur la question suivante (tu as vu juste Rouletabille). Étudier les variations de $f$, puis les limites aux bornes de l'ensemble de définition. J'ai dérivé $g(x)$ et je trouve $g'(x) = \dfrac{-(4t^3 + 2t)}{2(t^4+t^2+1)\sqrt{t^4+t^2+1}}$
Avec le tableau de variation, je trouve que $g(x)$ est croissante de $]-\infty, 0[$ et décroissante de $]0, +\infty[$
De plus $g(0) = 1$, et $\lim_{x \rightarrow -\infty} g(x) = 0$ et $\lim_{x \rightarrow +\infty} g(x) = 0$
Donc $g(x)$ est strictement positif sur $\R$, $f(x)$ est donc strictement croissante sur $\R$.
C'est bon ?
[En LaTeX, ce sont toutes les expressions mathématiques que l'on encadre par des $. AD] -
Crapi:
C'est la fonction f que tu dois étudier ou la fonction qui est sous le signe intégrale?
Je ne pense pas qu'on ait à dériver g, la fonction sous le signe intégrale :-D
Pour le signe de f, on sait directement que pour $x>0$, elle est positive sauf erreur, puisqu'on intègre une fonction strictement positive sur un intervalle de $\mathbb{R}^+$ , $[x,2x]$ -
Ah ? Moi ça m'a paru logique, si on a le signe de la dérivée de la fonction dans l'intégrale, on a les variations de cette fonction et on peut voir où elle est positive, là en l'occurrence, elle est positive sur R. Du coup sa primitive est croissante sur R.
-
Il n'y a pas lieu de faire un tableau de variations de la fonction $g$: elle est positive partout, car une racine carrée est positive et son inverse aussi. Et l'intégrale d'une fonction continue positive est positive (tu as dû apprendre ça au lycée).
Il va falloir revoir les théorèmes de base sur les intégrales, visiblement tu ne les connais pas/plus.
Ensuite, tu as raison de dire qu'une primitive de $g$ est croissante, mais ta fonction $f$ n'est pas une primitive de $g$. Si je note $G$ une primitive de $g$, on a $f(x)=G(2x)-G(x)$ pour tout $x$. Même si $G$ est croissante, tu ne peux a priori rien dire sur $f$. -
Autrement dit, pour insister sur ce qu'écrit GreginGre, si tu veux étudier les variations de f, une méthode consiste à dériver $f(x)=G(2x)-G(x)$, où G est une primitive de g sur $\mathbb{R}$ (nous savons qu'il existe une telle fonction G) et tu vas t'apercevoir qu'on n'a pas besoin de dériver g (à ne pas confondre avec G).
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A la décharge de Crapi : Il est plus simple de faire "comme d'habitude" (*) que de réfléchir à ce que dit l'énoncé ce qui force à faire différemment des fois précédentes. Mais ça revient à chercher la nuit les clefs qu'on a perdues seulement sous le lampadaire, parce que là il y a de la lumière :-)
Donc Crapi, depuis le début tu tournes autour de ton énoncé sans le prendre à bras le corps. Tu perds ton temps ! ce que viennent de dire Greg et FdP, c'était dit (par toi) dès tes premiers messages : "... c'est à dire G(2x) - G(x) ...".
Mais tu as préféré chercher sous le lampadaire, c'est à dire faire comme d'habitude, il y a une fonction g je l'étudie ...
Cordialement.
NB : Je ne me moque pas de toi, je cherche seulement à te faire comprendre comment tu peux gagner du temps, traiter rapidement les exercices, progresser en maths. -
Oui je sais bien gerard0, mais quand on bosse par correspondance, on n'a pas cette intuition naturelle qu'on peut acquérir en cours avec un prof, des TD etc... Et que j'avais il y a quelques années au lycée.
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L'intuition se construit, avec ou sans prof, en s'attaquant aux problèmes directement.
J'ai appris une bonne partie de mes connaissances mathématiques sans prof, je sais de quoi je parle :-)
Cordialement. -
Pour les limites aux bornes, c'est 2 formes indéterminées en $-\infty$ et $+\infty$, est-ce que là je dois étudier g(x) ?
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g est paire, l'étude en $+\infty$ suffira.
En gros g(x) vaut 1/x^2 en l'infini * donc G(2x) et G(x) ont une valeur finie et f(x) aussi, non?
* la primitive de 1/x^2 se calcule facilement et il existe surement k telque 0 < g(x) < k/x^2 pour x grand.
Donc l'integrale de g en l'infinie existe (même si on n'a pas d'expression). -
Donc on sait que la limite de f en l'infini est finie mais on ne connaît pas l'expression ? Parce que la dernière question demande de déduire l'allure de f, mais sans cette limite, je suppose que ça complique la tâche non ?
-
0 < g(x) < k/x^2 pour x grand
Il faut trouver k, puis intégrer les inégalités et en déduire la limite de f en l'infini.
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