Exercice intégrales
Bonjour à tous, j'aurais besoin d'un petit coup de pouce pour cet exercice :
Soit f la fonction définie par : Intégrale de x à 2x : 1 / racine(t^4 + t^2 + 1) dt
1) Quel est le domaine de définition de f ? Est-elle paire, impaire ?
Je suppose qu'elle est définie sur R, je vois pas de valeur interdite... Après j'ai jamais été confronté à ce genre d'intégrale, peut-on "remplacer" le paramètre "t" de la fonction par les bornes de l'intégrale "x" et "2x" ?
Je donnerais les autres questions après avoir compris la 1).
Merci d'avance,
Soit f la fonction définie par : Intégrale de x à 2x : 1 / racine(t^4 + t^2 + 1) dt
1) Quel est le domaine de définition de f ? Est-elle paire, impaire ?
Je suppose qu'elle est définie sur R, je vois pas de valeur interdite... Après j'ai jamais été confronté à ce genre d'intégrale, peut-on "remplacer" le paramètre "t" de la fonction par les bornes de l'intégrale "x" et "2x" ?
Je donnerais les autres questions après avoir compris la 1).
Merci d'avance,
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Réponses
:-S Drôle d'idée!
En fait "t" n'est pas un paramètre mais une variable muette.
On peut écrire toute autre lettre à la place, sauf "x" qui est utilisé ailleurs.
Le "x" aux bornes est celui de la fonction, il détermine l'interval d'intégration [x,2x] (ou [2x,x] si x<0) de l'expression 1 / racine(t^4 + t^2 + 1).
[Edit: soleil vert a effacé son message. j ]
Euh, si ? Avec tes notations, $f(x) = \int_{x}^{2x} g(t) {\rm d}t$ et, comme $g$ est paire, le changement de variable « $u = -t$ » donne
$$f(-x) = \int_{-x}^{-2x} g(t) {\rm d}t = - \int_{x}^{2x} g(u) {\rm d}u = - f(x).$$
Crapi, pourquoi ${\bf R}_+$ ? Ça te gène d'écrire
$$\int_{-3}^{-6} \frac{1}{\sqrt{t^4 + t^2 + 1}} {\rm d}t$$
?
Elle est impaire de dérivée paire logique.
Que penses-tu du signe de 1+t²+t^4?
> 2x doit forcément être supérieur à x, donc x
> doit être toujours positif non ?
Pourquoi "forcément" ? Même avec les définitions de terminale on peut intégrer
de -2 à -4.
Cordialement.
La réponse étant OUI! , on en déduit aussi qu'on n'a pas l'obligation de supposer $b>a$ pour écrire $\displaystyle \int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)$ où $f$ est une fonction définie et continue sur l'intervalle d'extrémités $a,b$ et $F$ une primitive de $f$ sur le même intervalle.
Par contre, si on cherche un encadrement de cette intégrale, connaissant un encadrement de $f(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle d'extrémités $a,b$, il faut savoir, sauf erreur, si on a $a>b$ ou $b>a$ (dans le cas où $a=b$ l'intégrale est nulle)
Quel est le domaine de définition de $g$ ? où est-elle continue ? ( le message de zorg69 avait pour but de t'emmener sur ce terrain) sur quels intervalles $[a,b]$ la fonction $g$ est-elle intégrable ?
C'est curieux que tu bloques là dessus, il n'y a pourtant rien à faire. Quel est ton niveau ?
On peut t'aider à comprendre les nouvelles notions, mais ce n'est pas le problème ici, puisque ton exercice, au départ, est du niveau terminale S.
Donc tu peux éventuellement étudier ton cours, et quand tu ne comprends pas un passage, après avoir bien repris ce qui précède, venir demander des éclaircissements.
Mais pour ton exercice, tu as depuis le début (ton deuxième message) la réponse qui te permet de répondre à la question du domaine de définition de f (Rappel du cours de seconde : Le domainre de définition de f est l'ensemble des valeurs x pour lesquelles on peut calculer f(x)).
A toi ...
Alors, pour répondre à tes questions GreginGre :
Quel est le domaine de définition de g ?
R, car g(x) est définie que si t^4 + t^2 + 1 > 0
Où est-elle continue ?
R aussi car toutes fonctions rationnelles est continue en tout point ou elle est définie.
Sur quels intervalles [a,b] la fonction g est-elle intégrable ?
Je sais que toutes fonctions monotones sont intégrables, donc j'ai pensé à dériver g(x) et fais le tableau de variation.
Du coup au final j'ai g'(x) positif de ] -inf, 0[ et négatif de ]0, +inf[,
D'où donc g(x) croissante de ]-inf, 0[ et décroissante de ]0, + inf[.
Donc elle est intégrable sur ]-inf, 0[ u ]0, + inf[.
Et pas les continues ? Et tu n'as pas intégré des fonctions très simplement en terminale ?
A ton avis, pourquoi la question sur la continuité ?
Enfin, pourquoi éliminer 0 de l'intégrabilité ?
Cordialement.
Oui, pour n'importe quels t réels, t^4 + t^2 + 1 > 0, donc g(x) est définie sur R.
> Et pas les continues ?
Les fonctions continues par morceaux si c'est vrai.
> Et tu n'as pas intégré des fonctions très simplement en terminale ?
Ça remonte à quelques années, j'ai plus beaucoup de souvenirs, désolé...
> Enfin, pourquoi éliminer 0 de l'intégrabilité ?
Oui c'est vrai...la dérivée s'annulait en 0, j'ai pensé qu'il fallait l'éliminer.
Cordialement.
Je voudrais que tu clarifies un point. Il faut qu'une fonction soit continue et strictement positive sur un intervalle $[a,b]$ avec $b>a$ deux réels, pour qu'on puisse parler de l'intégrale de cette fonction sur cet intervalle?
Je vois que j'ai peut-être bien fait de poser la question. B-)-
Mais en effet, ce qui pourrait empêcher de pouvoir intégrer sur un intervalle la fonction de ton énoncé est qu'elle ne soit pas définie pour toutes les valeurs de l'intervalle sur laquelle on l'intègre (là où elle serait définie, elle serait continue, dans le cas d'espèce) mais ici, il n'y a aucun problème, cette fonction est définie et continue sur $\mathbb{R}$ tout entier.
Par contre, si j'ai bien compris ta réponse, il n'est pas nécessaire qu'une fonction soit monotone pour qu'on puisse l'intégrer sur un intervalle $[a,b]$.
Ce qui est sûr est qu'il y a une condition suffisante (mais pas nécessaire) pour qu'on puisse intégrer une fonction sur un intervalle $[a,b]$ avec $b>a$ deux réels: qu'elle soit définie et continue sur cet intervalle.
Je me suis avancé sur la question suivante (tu as vu juste Rouletabille). Étudier les variations de $f$, puis les limites aux bornes de l'ensemble de définition. J'ai dérivé $g(x)$ et je trouve $g'(x) = \dfrac{-(4t^3 + 2t)}{2(t^4+t^2+1)\sqrt{t^4+t^2+1}}$
Avec le tableau de variation, je trouve que $g(x)$ est croissante de $]-\infty, 0[$ et décroissante de $]0, +\infty[$
De plus $g(0) = 1$, et $\lim_{x \rightarrow -\infty} g(x) = 0$ et $\lim_{x \rightarrow +\infty} g(x) = 0$
Donc $g(x)$ est strictement positif sur $\R$, $f(x)$ est donc strictement croissante sur $\R$.
C'est bon ?
[En LaTeX, ce sont toutes les expressions mathématiques que l'on encadre par des $. AD]
C'est la fonction f que tu dois étudier ou la fonction qui est sous le signe intégrale?
Je ne pense pas qu'on ait à dériver g, la fonction sous le signe intégrale :-D
Pour le signe de f, on sait directement que pour $x>0$, elle est positive sauf erreur, puisqu'on intègre une fonction strictement positive sur un intervalle de $\mathbb{R}^+$ , $[x,2x]$
Il va falloir revoir les théorèmes de base sur les intégrales, visiblement tu ne les connais pas/plus.
Ensuite, tu as raison de dire qu'une primitive de $g$ est croissante, mais ta fonction $f$ n'est pas une primitive de $g$. Si je note $G$ une primitive de $g$, on a $f(x)=G(2x)-G(x)$ pour tout $x$. Même si $G$ est croissante, tu ne peux a priori rien dire sur $f$.
Donc Crapi, depuis le début tu tournes autour de ton énoncé sans le prendre à bras le corps. Tu perds ton temps ! ce que viennent de dire Greg et FdP, c'était dit (par toi) dès tes premiers messages : "... c'est à dire G(2x) - G(x) ...".
Mais tu as préféré chercher sous le lampadaire, c'est à dire faire comme d'habitude, il y a une fonction g je l'étudie ...
Cordialement.
NB : Je ne me moque pas de toi, je cherche seulement à te faire comprendre comment tu peux gagner du temps, traiter rapidement les exercices, progresser en maths.
J'ai appris une bonne partie de mes connaissances mathématiques sans prof, je sais de quoi je parle :-)
Cordialement.
En gros g(x) vaut 1/x^2 en l'infini * donc G(2x) et G(x) ont une valeur finie et f(x) aussi, non?
* la primitive de 1/x^2 se calcule facilement et il existe surement k telque 0 < g(x) < k/x^2 pour x grand.
Donc l'integrale de g en l'infinie existe (même si on n'a pas d'expression).
Il faut trouver k, puis intégrer les inégalités et en déduire la limite de f en l'infini.