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Conjuguée

Envoyé par Playa 
Conjuguée
il y a quatre années
Bonsoir,

En cette soirée, je bloque sur un calcul (a priori facile) de la conjuguée de la norme.
Prenons un evn E, on définit la conjuguée d'une fonction phi par : phi*(f) = sup{<f,x> - phi(x)} (le sup parcours E, f est dans le dual topologique E')

Je veux montrer que la conjuguée de la norme est l'indicatrice de B(0,1) fermée.
Si la norme de f est <=1 je sais faire (on majore par sup{N(x)(N(f)-1)}=0 ...)
Comment faire pour N(f)<1 ?

Merci Beaucoup



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a quatre ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Conjuguée
il y a quatre années
avatar
Si $\|f\|_{E'}\le 1$, alors $\langle f,x\rangle-\|x\|_E\le 0$ pour tout $x\in E$, en particulier pour $x=0$.

Si $\|f\|_{E'}> 1$, il suffit de trouver un $x$ tel que $\langle f,x\rangle-\|x\|_E> 0$...
Re: Conjuguée
il y a quatre années
Voilà une proposition.

Si $N(f)>1$ alors il existe $x_0$ de norme $\leq 1$ tel que $f(x_0)>1$.

$\phi^{*}(x -> N(x))\geq k f(x_0)- k N(x_0) = k(f(x_0)-N(x_0))$ (avec $k>0$)
on fait tendre $k$ vers l'infini (le facteur $f(x_0)-N(x_0)$ étant positif) pour conclure.

Une confirmation ??



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a quatre ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Conjuguée
il y a quatre années
avatar
Ca a l'air correct, mais ce que tu écris est pratiquement illisible sans LaTeX.
Re: Conjuguée
il y a quatre années
Merci pour ton observation REMARQUE au sujet du LATEX.
J'espère que c'est potable désormais.
Re: Conjuguée
il y a quatre années
avatar
Oui, c'est l'idée. Je ne sais pas trop à quoi correspond la flèche ici

> $phi^{*}(x->N(x))$

J'imagine que tu voulais écrire $\phi(x)=\|x\|_E$ et $\phi^*(f)\ge k(\langle f,x_0\rangle-\|x_0\|_E)$.
Re: Conjuguée
il y a quatre années
Oui en effet remarque, je me suis trompé en écrivant.
Vous avez correctement corrigé la typo.

Merci beaucoup
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