Conjuguée

Playa · January 2015

Bonsoir,

En cette soirée, je bloque sur un calcul (a priori facile) de la conjuguée de la norme.
Prenons un evn E, on définit la conjuguée d'une fonction phi par : phi*(f) = sup{<f,x> - phi(x)} (le sup parcours E, f est dans le dual topologique E')

Je veux montrer que la conjuguée de la norme est l'indicatrice de B(0,1) fermée.
Si la norme de f est <=1 je sais faire (on majore par sup{N(x)(N(f)-1)}=0 ...)
Comment faire pour N(f)<1 ?

Merci Beaucoup

remarque · January 2015

Si $\|f\|_{E'}\le 1$, alors $\langle f,x\rangle-\|x\|_E\le 0$ pour tout $x\in E$, en particulier pour $x=0$.

Si $\|f\|_{E'}> 1$, il suffit de trouver un $x$ tel que $\langle f,x\rangle-\|x\|_E> 0$...

Playa · January 2015

Voilà une proposition.

Si $N(f)>1$ alors il existe $x_0$ de norme $\leq 1$ tel que $f(x_0)>1$.

$\phi^{*}(x -> N(x))\geq k f(x_0)- k N(x_0) = k(f(x_0)-N(x_0))$ (avec $k>0$)
on fait tendre $k$ vers l'infini (le facteur $f(x_0)-N(x_0)$ étant positif) pour conclure.

Une confirmation ??

remarque · January 2015

Ca a l'air correct, mais ce que tu écris est pratiquement illisible sans LaTeX.

Playa · January 2015

Merci pour ton observation REMARQUE au sujet du LATEX.
J'espère que c'est potable désormais.

remarque · January 2015

Oui, c'est l'idée. Je ne sais pas trop à quoi correspond la flèche ici

> $phi^{*}(x->N(x))$

J'imagine que tu voulais écrire $\phi(x)=\|x\|_E$ et $\phi^*(f)\ge k(\langle f,x_0\rangle-\|x_0\|_E)$.

Playa · January 2015

Oui en effet remarque, je me suis trompé en écrivant.
Vous avez correctement corrigé la typo.

Merci beaucoup

Conjuguée

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