Conjuguée
Bonsoir,
En cette soirée, je bloque sur un calcul (a priori facile) de la conjuguée de la norme.
Prenons un evn E, on définit la conjuguée d'une fonction phi par : phi*(f) = sup{<f,x> - phi(x)} (le sup parcours E, f est dans le dual topologique E')
Je veux montrer que la conjuguée de la norme est l'indicatrice de B(0,1) fermée.
Si la norme de f est <=1 je sais faire (on majore par sup{N(x)(N(f)-1)}=0 ...)
Comment faire pour N(f)<1 ?
Merci Beaucoup
En cette soirée, je bloque sur un calcul (a priori facile) de la conjuguée de la norme.
Prenons un evn E, on définit la conjuguée d'une fonction phi par : phi*(f) = sup{<f,x> - phi(x)} (le sup parcours E, f est dans le dual topologique E')
Je veux montrer que la conjuguée de la norme est l'indicatrice de B(0,1) fermée.
Si la norme de f est <=1 je sais faire (on majore par sup{N(x)(N(f)-1)}=0 ...)
Comment faire pour N(f)<1 ?
Merci Beaucoup
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Réponses
Si $\|f\|_{E'}> 1$, il suffit de trouver un $x$ tel que $\langle f,x\rangle-\|x\|_E> 0$...
Si $N(f)>1$ alors il existe $x_0$ de norme $\leq 1$ tel que $f(x_0)>1$.
$\phi^{*}(x -> N(x))\geq k f(x_0)- k N(x_0) = k(f(x_0)-N(x_0))$ (avec $k>0$)
on fait tendre $k$ vers l'infini (le facteur $f(x_0)-N(x_0)$ étant positif) pour conclure.
Une confirmation ??
J'espère que c'est potable désormais.
> $phi^{*}(x->N(x))$
J'imagine que tu voulais écrire $\phi(x)=\|x\|_E$ et $\phi^*(f)\ge k(\langle f,x_0\rangle-\|x_0\|_E)$.
Vous avez correctement corrigé la typo.
Merci beaucoup