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Intégrales égales

Envoyé par fanf 
Intégrales égales
il y a cinq années
Bonjour,

Comment montrer, sans les calculer, l'égalité des intégrales suivantes
$$I=\int_0^{+\infty}\frac{1}{1+t^4}dt\text{ et }J=\int_0^{+\infty}\frac{t^2}{1+t^4}dt$$
s'il vous plait ?
Re: Intégrales égales
il y a cinq années
Bonjour,

$t=\dfrac{1}{u}$ peut-être ?

Cordialement,

Rescassol
Re: Intégrales égales
il y a cinq années
Merci : en posant $u=\frac{1}{t}$, on a $du=-\frac{1}{t^2}dt\Longleftrightarrow dt=-\frac{1}{u^2}du$ et la fonction $t\mapsto\frac{1}{t}$ réalise une bijection de $]0,+\infty[$ sur $]0,+\infty[$, on obtient
\begin{align*}
I&=\int_0^{+\infty}\frac{1}{1+t^4}dt=\int_{+\infty}^0\frac{1}{1+\frac{1}{u^4}}\left(-\frac{du}{u^2}\right)\\
&=\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{u^2+\frac{1}{u^2}}du\\
&=\int_{0}^{+\infty}\frac{u^2}{u^4+1}du=J.
\end{align*}



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