"paradoxe" interversion limite/intégrale
Bonjour à tous!
Vous aurez noté le nombre de guillemets dans le titre, [ Il y en avait trois paires dans le titre initial. jacquot ]
il signifie que c'est un paradoxe à mon niveau, donc ceux qui s'attendaient à quelque chose de sérieux vont être déçus...
Je sais que l'on ne peut pas intervertir limite et intégrale dans le cas général, et j'ai même un contre-exemple: $\int_{0}^{n}\frac{1}{n}$. Par contre, ce résultat n'est pas du tout intuitif pour moi (même en ayant le contre-exemple!
!), et le raisonnement (faux) suivant illustre mon blocage:
La suite (supposée convergente) $\{\int_{I} f_n\}$ est composée des termes $\int_{I} f_0$, $\int_{I} f_1$, $\int_{I} f_2$, ..., $\int_{I} f_{\infty} = L$. (si je puis me permettre la notation). Et ce dernier terme est la limite de la suite, c'est-à-dire $\lim_{n \to \infty} \int_{I} f_n$
Et là vous me voyez venir, je vous la donne en mille: qu'est ce que "$f_{\infty}$" sinon $\lim_{n \to \infty} f_n$, et donc la limite de la suite précédente serait aussi $\int_{I} \lim_{n \to \infty} f_n$...
Bref j'arrête le massacre, merci pour votre aide!
Vous aurez noté le nombre de guillemets dans le titre, [ Il y en avait trois paires dans le titre initial. jacquot ]
il signifie que c'est un paradoxe à mon niveau, donc ceux qui s'attendaient à quelque chose de sérieux vont être déçus...
Je sais que l'on ne peut pas intervertir limite et intégrale dans le cas général, et j'ai même un contre-exemple: $\int_{0}^{n}\frac{1}{n}$. Par contre, ce résultat n'est pas du tout intuitif pour moi (même en ayant le contre-exemple!
!), et le raisonnement (faux) suivant illustre mon blocage:
La suite (supposée convergente) $\{\int_{I} f_n\}$ est composée des termes $\int_{I} f_0$, $\int_{I} f_1$, $\int_{I} f_2$, ..., $\int_{I} f_{\infty} = L$. (si je puis me permettre la notation). Et ce dernier terme est la limite de la suite, c'est-à-dire $\lim_{n \to \infty} \int_{I} f_n$
Et là vous me voyez venir, je vous la donne en mille: qu'est ce que "$f_{\infty}$" sinon $\lim_{n \to \infty} f_n$, et donc la limite de la suite précédente serait aussi $\int_{I} \lim_{n \to \infty} f_n$...
Bref j'arrête le massacre, merci pour votre aide!
Réponses
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Ben non, justement tu ne peux pas te permettre la notation !
Ou alors, il faut se rappeler ce que ta notation signifie, c'est à dire $\lim \int_I f_n$. Rien à voir avec $\int_I \lim f_n$.
Dans ta notation , ton $f_\infty$ n'est pas défini, et ce n'est en aucun cas $\lim(f_n)$. Bref, pas de paradoxe, juste un mauvais choix de notation. -
C'est aussi une histoire de "parenthésage"
Quand on écrit : $\int f_1$, $\int f_2$, $\int f_3$, $\int f_4$,... Alors on parle de la suite $(\int f_n)_n$
En notant le symbole "intégrale" autrement, comme une fonction, cela donne : $I(f_n)$.
Et rien ne dit que $(I(f_n))_n$ converge vers $I(f_\infty)$.
Un peu comme quand on écrit :
si $g$ est continue en $a$ et si $(x_n)_n$ converge vers $a$ alors $(g(x_n)_n)$ converge vers $g(a)$.
si $g$ n'était pas continue en a, on pourrait avoir $(g(x_n)_n)$ converge vers $g(b)$, $b$ étant un autre élément.
Je reprends :
Si on a $(f_n)_n$ qui converge vers $f$, alors sous certaines hypothèses on a $(\int(f_n))_n$ converge vers $\int f$.
Mais sans ces hypothèses, on peut avoir $(\int(f_n))_n$ converge (et parfois même pas) vers $J$, un autre nombre que $\int f$.
Enfin en s'aurotisant des notations très maladroites on n'a pas forcément (quand les limites existent) égalité entre $\int (f_\infty)$ et $(\int f)_\infty$.
Cordialement. -
Merci!
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Bonjour!
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