problème aux limites
Bonjour,
j'ai le problème aux limites suivant:
$
\begin{cases}
& y'' + \lambda y = 0,\\
& y(0)-2 y(2 \pi)=0,\\
& y'(0)-y'(2 \pi)=0
\end{cases}
$
Comment voir s'il existe ou non des valeurs propres complexes à ce problème? Je n'en n'ai vraiment aucune idée.
Je vous remercie par avance pour votre aide.
j'ai le problème aux limites suivant:
$
\begin{cases}
& y'' + \lambda y = 0,\\
& y(0)-2 y(2 \pi)=0,\\
& y'(0)-y'(2 \pi)=0
\end{cases}
$
Comment voir s'il existe ou non des valeurs propres complexes à ce problème? Je n'en n'ai vraiment aucune idée.
Je vous remercie par avance pour votre aide.
Réponses
-
Salut
La matrice de ton problème est $\begin{pmatrix} 0&1\\ -\lambda &0 \end{pmatrix}$
le polynôme caractéristique est $X^2+1$ donc tes valeurs propres sont complexes
le polynôme caractéristique est $X^2+\lambda$ donc tes valeurs propres sont complexes si $\lambda$ est réel positif.
[Corrigé selon ton indication. AD] -
Ca doit pas être trop dur de calculer les valeurs propres à la main, non ?
-
Je ne comprend pas. On pose $y(x)= e^{rx}$, et on obtient l'équation algébrique $r^2 + \lambda = 0$ où $\lambda \in \mathbb{C}$. Quelles sont les solutions de l'équation algébrique dans ce cas? S'il vous plaît.
-
Salut
Tu ne sais pas resoudre dans C; lequation z²=z0?
écrit z et z0 sous forme algebrique et utlise que le module de z² est egale au module de z0
tu verras plus claire apres -
J"avoue que j'ai un peu perdue la main. On note $\lambda = x+iy$ où $x,y \in \R$.
$r^2 + \lambda = 0$ implique que $r^2 = -(x+iy)$. Après comment il faut raisonner? Svp -
Tu devrais peut-être d'abord te poser la question de ce que bien être une « valeur propre d'un problème aux limites »... Ca serait déjà un premier pas avant de t'attaquer à cet autre problème (de première année) de calculer les racines carrées d'un nombre complexe.
-
Une valeur propre d'un problème aux limites est celle qui nous donne une solution non triviale du problème. Si $\lambda$ nous donne que la solution est triviale, alors ce n'est pas une valeur propore.
-
Tu parles d'une définition ! (:D
Enfin bref, oublions ces questions délicates. Donc tu cherches des $\lambda$ pour lesquels le problème écrit ci-dessus a une solution non triviale. Pour chaque valeur de $\lambda$, on connaît bien toutes les solutions de l'edo, tu sembles même avoir commencé à en écrire au moins une. Donc, parmi toutes ces solutions il faut (et il suffit de) sélectionner celles qui satisfont les conditions aux limites. C'est pas la mort quand même. -
Oui, c'est ce que j'ai fais. Puisque les coefficients sont des constantes, et que l'équation du problème est du second ordre, on pose $y(x)=e^{rx}$ et on obtient l'équation algébrique $r^2 + \lambda =0$.
Puis, j'ai étidié selon les cas: quand $\lambda \in \R$, j'ai étudié les cas: $\lambda = 0$, $lambda = \alpha^2$ et $\ambda = - \alpha^2$ avec $\alpha \in \R^*$.
Il me reste le cas $\lambda \in \C$, et bizarrement, je n'arrive pas à m'en sortir. Dans ce cas, on a $r^2 = - \lambda = - \rho e^{i \theta}$ où $\rho$ et $\theta$ sont des réels. Après ca, comment en déduire $r$?
Merci. -
On apprend ça en première année, au plus tard, bien avant les problèmes aux limites. Par ailleurs, ce n'est pas très utile à ce stade, il vaut mieux exploiter les conditions aux limites.
-
Que proposez-vous? Je ne comprend pas votre idée d'exploiter les conditions aux limites. Merci d'avance.
-
> Que proposez-vous?
De lire ceci et de le faire.Pour chaque valeur de $\lambda$, on connaît bien toutes les solutions de l'edo, tu sembles même avoir commencé à en écrire au moins une. Donc, parmi toutes ces solutions il faut (et il suffit de) sélectionner celles qui satisfont les conditions aux limites. -
@Hinane
Pour t'aider un peu sur la résolution de lequation $z²=z_0$
Tu pose $Z=x+iy$ et $z_0 = x_0 +i y_0$
Tu as les equations $x²-y² +2ixy= x_0 +i y_0$ et $ x²+y² = \sqrt {(x²_0 + y²_0)}$
A toi de jouer apres -
Je ne vois pas trop, si on somme les deux équations, on a $2 x^é + 2 i xy=x_0 + iy_0 + \sqrt{x_0^2 + y_0^2}$, comment on peut en déduire x et y?
-
Salut
Applique l’égalité entre deux complexe? qui te donne x²-y²=$x_0$
je peux plus t'aider sinon je risque de prendre un congé forcé ( lire la charte) -
Bon oublie les délires de gebrane nl. Suis cette démarche :
1) Commence par exprimer toutes les solutions de l'équation différentielle $y''+\lambda y = 0$, elles devraient dépendre de deux paramètres $A$ et $B$
2) injecte ces solutions dans les deux conditions aux limites, cela devrait te donner un système de deux équations à deux inconnues $A$ et $B$
3) tu cherches des solutions non triviales de ce système, cela te donnera une condition sur $\lambda^2$ pour qu'elles existent. Et donc tu en déduiras les valeurs propres du problème. -
Oui, onn a $x^2-y^2=x_0$ et $2 xy= y_0$, et $x^2+y^2= \sqrt{x_0^2+y_0^2}$.
Avez vous une piste pour trouver x et y? -
Désolé je ne comprends pas d'où sortent ces équations en $x$ et en $y$. Les solutions sont $y(x)=A e^{i r x} + B e^{-i r x}$ avec $r^2 = \lambda$, tu injectes ça dans les conditions aux limites, c'est tout.
-
Héhéhé, s'il vous plaît, pourquoi et comment vous avez trouvé que les solutions d l'équation sont $y(x)=A e^{irx} + B e^{-rx}$?
Merci beaucoup -
Ben ca vient de la résolution des équations différentielles linéaires d'ordre 2, c'est un truc qu'on voit en première année normalement. Comment veux-tu comprendre les problèmes aux limites comme celui-ci si tu n'es pas capable de résoudre une simple équa diff ?
-
Mais justement, je sais ca. On a une équation algébrique, et on trouve $r$, puis on déduit deux solutions linéairement indépendantesq pour l'équation.
Là, l'équation algébrique est $r^2 + \lambda = 0$ où $\lambda \in \mathbb{C}$. Il faut d'abord trouver $r$ pour construire les deux solutions linéairement indépendantes. Ma question est: pourquoi ici, les deux solutions lin.ind sont $e^{irx}$ et $e^{-irx}$? Et pourquoi elles ne sont pas en fonction de $\lambda$? Merci de m'aider à répondre à ces questions. -
Ici $r$ dépend évidemment de $\lambda$, via la relation $r^2 = \lambda $. Donc implicitement $e^{\pm i r x}$ dépend de $\lambda$. L'équation $r^2 = \lambda $ veut juste dire que $r$ est une racine carrée de $\lambda$, y'a pas besoin de "trouver" $r$, on sait qu'il en existe 2, et on continue les calculs.
-
Avrz vous un bon cours qui explique ce point? Je vous prie. Car pour moi, si on trouve deux solutions $r_1$ et $r_2$ pour l'équation algébrique (en posant $y(x)=e^{rx}$), alors la solution générale de l'équation est $A e^{r_1 x} + B e^{r_2 x}$ où $A$ et $B$ sont deux constantes réelles quelconques.
Dans mon cas, l'équation algébrique obtenue est $r^2 + \lambda = 0$ avec $\lambda \in \mathbb{C}$. Comment écrire la solution générale de l'équation, de manière logique?
Merci. -
Je comprends pas ce qui te bloque. Si $\lambda = 2$ alors $r = \pm \sqrt{2}$. Si $\lambda$ est quelconque, $r_1$ et $r_2$ sont les deux racines carrées de $\lambda$.
Bref tu définis $r$ comme solution de l'équation $r^2+\lambda= 0$ (autrement dit tu définis $r$ comme une racine carrée de $\lambda$) et comme l'autre solution est $-r$, tu as bien $y(x) = Ae^{i rx} + B^{-i r x}$. -
Mais alors, pourquoi le $i$ dans $e^{irx}$ et $e^{-irx}$? S'il vous plaît.
-
À cause du $+$ dans $y''+\lambda y=0$.
[Edit : confusion entre $r$ et $\lambda$.] -
Donc; puisque l'équation est $r^2 = -\lambda$, on peut l'écrire par $r^2= i^2 \lambda$, donc on a deux solutions: $r_1= i \sqrt{\lambda}$ et $r_2=- i \sqrt{\lambda}$ avec $\lambda \in \mathbb{C}$. Avec ca, c'est bien logique qu'on écrive que la solution générale de l'équation est $y(x)=A e^{irx} + B e^{-irx}$ où $A$ et $B$ sont deux constante réelles constantes.
Après ca,on cherche $A$ et $B$ pour que $y$ vérifie les conditions aux limites.
$y(0)-2 y(2 \pi)=0$ implique que $A+B-2A e^{i2 \pi r} - 2 B e^{-2 \pi i r} = 0$ qui signifie que
$A(1 - 2 e^{2 \pi i r}) + B(1 - 2 e^{-2 \pi i r})=0$
et
$y'(0)-y'(2 \pi)=0$ implique que $ir[A(1 - e^{2 i \pi r}) + B(1 -e^{-2 i \pi r})]=0$
Pour trouver $A$ et $B$, il faut donc résoudre ce système à deux équations. Avez vous une méthode simple pour ca? Merci beaucoup. -
Au fait, si $\lambda = 3.2+2.5i$, qui est $\sqrt{\lambda}$ ?
-
Jer anonyme, de manière générale,
On a l'équation algébrique $r^2 + \lambda = 0$, où $\lambda \in \mathbb{C}$. On pose $r = x+ i y$, et $\lambda = \alpha + i \beta$.
$r^2 = - \lambda$ implique $(x+iy)^2 = - \alpha - i \beta = x^2+y^2 + 2 i x y$.
On a deux équations: $x^2 - y^2 = Re(-\lambda)$, et $x^2 + y^2=|-\lambda|$. Ainsi, on déduit que:
$x^2=\dfrac{Re(-\lambda) + |-\lambda|}{2}$ et $y^2 = \dfrac{|-\lambda| - Re(-\lambda)}{2}$
ce qui implique que
$x=\sqrt{\dfrac{Re(-\lambda)+|-\lambda|}{2} }$ ou $ x=- \sqrt{\dfrac{Re(-\lambda)+|-\lambda|}{2} }$ et $x=\sqrt{\dfrac{Re(-\lambda)-|-\lambda|}{2} }$ ou $x=- \sqrt{\dfrac{Re(-\lambda)-|-\lambda|}{2} }$. -
En particulier, parmi les deux racines carrées de $\lambda$, il n'y en a pas une qui mérite plus que l'autre d'être appelée $\sqrt{\lambda}$, n'est-ce pas ? (Sauf bien sûr dans le cas exceptionnel où $\lambda$ est un réel positif.)
-
Je ne comprend pas ce que vous voulez m'expliquer :-(
-
Très simple : lorsque $\lambda$ est un complexe (mais pas un réel positif), le symbole $\sqrt{\lambda}$ n'est pas défini. En effet, il n'y a pas moyen de choisir a priori une des deux solutions de l'équation $z^2=\lambda$.
-
Ah oui, je comprend maintenant. On n'a pas le droit d'écrire $\sqrt{z}$.
Et pour mon problème? Comment résoudre le système pour obtenir A et B? S'il vous plaît. -
Ben c'est un simple système linéaire d'ordre 2, qu'est-ce que te bloque pour essayer de le résoudre ?
-
ce qui me bloque, c'est la présence de i et de $r$ qui est complexe. Si on travaillais avec des réels, et sans i, j'aurais calculé le détérminant pour voir: si le determinant est nul, alors la solution est trivial, sinon, il y'a une infinité de solution. Mais dans ce cas, qu'est ce qu'on peut faire pour résoudre ce système? Le système est
$A(1 - 2 e^{2 \pi i r}) + B(1 - 2 e^{-2 \pi i r})=0$
et
$ir[A(1 - e^{2 i \pi r}) + B(1 -e^{-2 i \pi r})]=0$
Merci de m'aider -
Le fait qu'il y ait des complexes ne change rien ! Tu peux toujours utiliser la méthode du déterminant.
-
C'est quand même inquiétant de montrer de telles lacunes à ce niveau-là... :-(
-
Ok. On a
$det =(1-2 e^{2 \pi i r})(1-e^{-2 \pi i r}) - (1-2 e^{-2 \pi i r})(1-e^{2 \pi i r})= e^{-2\pi i r}-e^{2 \pi i r}$ qui ne peut pas être nul.
On conclut que $A=B=0$, et que par conséquent, la solution du problème est $y=0$, ce qui implique qu'il n'y a pas de valeurs propres complexes. C'est ok? -
Non. Il y a des valeurs de $r$ pour lequel le déterminant est nul.
-
Il y a surtout que le système linéaire est faux. Plutôt que de trimballer $i$ partout, pourquoi ne pas poser $s=ir$, ça fera une lettre de moins.
-
Oui, il y'a une erreur dans le système. Il s'agit de:
$A(1-2e^{2 \pi s}) + B(1-2 e^{-2 \pi s})=0$ et $s[A(1-e^{2 \pi s}) + B(e^{-2 \pi s} -1)=0$
où $s= i r \in \mathbb{C}$, en utilisant le fait que $s \neq 0$.
Le déterminant vaut $det=-6+3 e^{-2 \pi s} + 3 e^{2 \pi s}$.
$det = 0$ implique que (en multipliant par $e^{2 \pi s}$ et en divisant par $3$, on obtient que $-2 e^{2 \pi s} + 1 + e^{4 \pi s} = 0$ ce qui implique que $(1 - e^{2 \pi s})^2 = 0$ qui implique que $2 \pi s=0$, ce qui impossible puisque $s \neq 0$.
Le problème n'admet donc pas de valeurs propres complexes.
J'ai quelques questions, et je vous remercie d'avance de m'aider.
1- Dans le cas où l'équation algébrique était $r^2=\lambda$, alors la solution générale de l'équation serait $y(x)=A e^{rx} + B e^{-rx}$. C'est ok?
2- D'habitude, quand on obtient une solution complexe, on utilise l'écriture avec $\sin$ et $\cos$ pour en extraire une solution générale réelle. Pourquoi on ne fait pas ca ici? Je veux dire, pourquoi est-ce que quand on cherche des valeurs propres complexes, alors on travaille avec une solution générale complexe?
3- Enfin, dans l'exercice on nous dit: vérifier que le problème n'admet ni de valeurs propres complexes, ni négatives. Est-ce que l'un implique l'autre?
Merci beaucoup. -
C'est encore faux. Il y a plein de nombres $s$ tel que $e^{2 \pi s} = 1$ et donc qui annule le déterminant.
-
Salut
Lit attentivement ce résumé et tu verras plus claire
http://www.math.u-bordeaux1.fr/~sakkouch/Enseignements/SVE/Cours/Cours_Equations_différentielles_2.pdf
si tu comprend ce cadre tu comprendra le cadre où a;b;c des complexesLe 😄 Farceur -
$e^{2 \pi s} = e^{2 \pi (\alpha + i \beta)} = e^{2 \pi \alpha} [\cos(2 \pi \beta) + i \sin (2 \pi \beta)]$
Dans le cas où $\alpha=0$ et $\beta\in \mathbb{Z}$, alors $e^{2 \pi s} = 1$. Donc, le déterminant n'est pas nul, quand
$s=ir= i \beta$ où $\beta \in \mathbb{Z}$ qui implique que $r \in \mathbb{Z}^*$ ce n'est pas un nombre de la forme $x+iy$. $\R$ est inclus dans $\mathbb{C}$, mais je ne comprend plus. On dit qu'il admet des valeurs propres complexes ou non? S'il vous plaît. -
Finalement tu trouves quoi pour $\lambda$ ? Conclusion ?
-
Je trouve que le problème admet des valeurs propres strictement positives $\lambda \in \N$ et c'est tout. Pas de valeurs propres négatives, et pas de valeurs propres complexes de la forme $\alpha + i \beta$ avec $\alpha$ et $\beta$ des réels quelconques. C'est ok? Et merci.
-
Je serais curieux de voir une fonction $y$ non nulle telle que
$$\begin{cases}
& y'' + 2 y = 0,\\
& y(0)-2 y(2 \pi)=0,\\
& y'(0)-y'(2 \pi)=0
\end{cases}
$$
> pas de valeurs propres complexes de la forme $\alpha+i\beta$ avec $\alpha$ et $\beta$ des réels quelconques.
Un nombre entier ne serait donc pas de cette forme ? Tiens donc. -
Mais si bien sur, j'ai oublié de préciser non nuls. Il n'y a pas de valeurs propres de la forme $\alpha + i \beta$ où $\alpha$ et $\beta$ sont des réels non nuls.
Je suis perdue. Quand on nous pose la question: est-ce que le problème a des valeurs propres négatives? Et est-ce qu'il y'a des valeurs propres complexes? Et strictement positifs? Et qu'on trouve le genre de résultat que l'on a trouvé dans ce post. Qu'est ce qu'on peut dire? Il y'a des valeurs propres complexes? Ou non? Je veux dire que, si on le trouves de la forme $\alpha + i \beta$ où $\alpha$ et $\beta$ sont des réels non nuls on dit oui, sinon, on dit non?
Merci. -
Une bonne fois pour toutes, une valeur propre réelle est une valeur propre complexe. A la limite, on peut se demander s'il existe des valeurs propres complexes qui ne sont pas réelles.
Tu as prétendu que les valeurs propres étaient les nombres entiers positifs. J'en ai pris un au hasard, $n=2$, et attends toujours de voir une fonction propre associée. -
On a trouvé que le déterminant n'est pas nul ssi $r \in \mathbb{Z}^*$. Dans le cas où le determinant n'est pas nul, le système admet une infinité de solutions A et B. En prenant $A \neq 0$ et $B\neq 0$, on obtient un vecteur propre associé. Ce n'est pas ca? Où est l'erreur je vous prie. :-(
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.8K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 52 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres