@Fin de partie c'est sans commentaire @YvesM je sens que le plus difficile des $ I_k $ le $I_5$ mais puisque on a leurs somme on essaie de comprendre le $I_4$ et le $I_3$
Puisque on est dans le concours des sympathiques. Relit l'envoie de YvesM
Il a donné une des plus sympathiques en modifiant l’écriture de F.
En faite je te sens te frotter les mains pour donner cette intégrale comme sujet d'examen:-D
Je ne suis pas enseignant. Je m'intéresse aux méthodes de calcul exact des intégrales. Certaines méthodes sont très ingénieuses et des méthodes il y en a beaucoup.
On peut calculer la première intégrale par une méthode semblable à celle utilisée pour calculer l'intégrale du premier message (on écrit $\ln(1+x)$ sous forme intégrale).
Cette méthode peut-être présentée sous la forme:
On introduit:
$\displaystyle G(a)=\int_0^1 \dfrac{\ln(1+ax)}{1+x^2}dx$ , on dérive etc.
Pour la deuxième intégrale, on fait le changement de variable $y=\dfrac{1-x}{1+x}$ et on se ramène au calcul de la première intégrale.
En espérant ne pas avoir écrit trop d'énormités.
PS:
L'intégrale $I_5$ me semble plus facile à calculer que $I_4$.
PS2:
$I_3=\dfrac{\pi\ln(2)}{4}-C$
avec $C$ la constante de Catalan.
Bonjour, pour $I_3$ je fais une intégration par partie pour faire apparaître $(2 \arctan(x) - \pi/2) 2x / (1-x^2)$ mais on n'arrivera à rien... on peut aussi écrire que $1/(1+x^2)$ est la partie réelle de $1/(1+ix)$ pour abaisser d'un degré le dénominateur, on peut aussi développer en série entière tous les dénominateurs... mais on n'arrive à rien... si tu peux trouver une expression fermée de $I_3$ (à part en série compliquée) ce serait un exploit.
Salut
On connait maintenant le calcul exact de $I_k$ pour k=1,2,3
Si on réussit le calcul exact de $I_4$ et $I_5$ ; Est ce qu il y a une chance sur 10000 que la constante de Catalan ne disparaît pas lorsque on fait la somme des $I_k$ K=1...5 ; Car dans ce cas la constante de Catalan s’écrira exactement à l'aide de $\pi$ , $ Ln(2)$ et ...
Bonjour, on doit d'abord écrire $I_3$ correctement et vérifier numériquement. Puis $I_4-I_5$ suffit à conclure, encore faut-il trouver une expression de cette différence.
Salut
Je m’intéresse pas en premier lieu à chercher une preuve 3 de votre question initiale ( je vais regarder la preuve 1 avec les résidus plus tard pas encore finalisée) mais de faire une lumière sur la constante de Catalan. Personne n'a pu donner une expression exact de cette constante en fonction de $\pi$ et ...
On doit donc Calculer $I_4, I_5$ exactement et revoir le $I_3$ de Fin de partie
Mais sent tu une chance que cette constante ne disparaît pas lorsque on fait la somme?
Salut @YvesM
Dommage!!:-X @GreginGre
C’était une idée folle Mais rien ne prouve que la constante de Catalan ne peut pas s’écrire a l'aide des constantes usuelles comme $\pi$ et ...
Non, rien ne le prouve formellement mais on est capable de savoir si étant donnée une liste de constantes il existe une combinaison linéaire à coefficients entiers de ces constantes qui est nulle, ce qui fait qu'il est peu probable qu'on puisse trouver une expression simple (genre polynomiale) de la constante de Catalan à l'aide de $\pi$ et de $\log 2$ par exemple.
PS:
On ne sait même pas si la constante de Catalan est un nombre rationnel bien que cela soit peu probable.
PS2:
Par exemple, il est bien connu qu'il existe $p,q$ entiers non nuls premiers entre eux, tels que $\zeta(4)=\dfrac{p}{q}{\pi}^4$
on est capable calculatoirement en une fraction de seconde de retrouver ces $p,q$.
On est capable aussi si on sait que:
$\int_0^1 {\ln(1+x) \over 1+x²}dx=\dfrac{p}{q}\log(2)$ avec $p,q$ non nuls et premiers entre eux, de retrouver en une fraction de seconde les valeurs de $p,q$
On peut avec un peu de patience deviner les valeurs des deux intégrales manquantes de cette façon.
Ce ne sera pas des preuves à proprement parler mais néanmoins les valeurs seront très probablement exactes.
Bonjour, pour $I_4$ et $I_5$, les seules qui nous restent à calculer, j'ai montré avec l'aide d'un logiciel formel (en ligne) que l'on peut écrire le résultat avec des logarithmes, $\pi$ et la fonction $Li_2(x)$ qui est le dilogarithme. Mais les calculs intermédiares sont très pénibles et me prendraient plusieurs jours (je pense 3) car pour y arriver j'ai découpé en quatres, puis réduit $1+x^2$ en $1+ ix$ et je dois donc faire le calcul quatre fois, puis prendre les valeurs en $x=0$ et $x=1$, puis prendre les parties réelles... Donc, je ne le fais pas.
Peut-être avez-vous un logiciel formel plus performant qui sait faire tout ça ?
Réponses
Sa formule est bonne mais laisser une formule, après toutes ces lignes de calcul, dans cet état-là, c'est très dommage.
Tu peux donc terminer ton calcul et présenter correctement ta formule.
@YvesM je sens que le plus difficile des $ I_k $ le $I_5$ mais puisque on a leurs somme on essaie de comprendre le $I_4$ et le $I_3$
$\displaystyle F(a)={\pi \over 2} \Big({\ln(\sqrt a) \over \sqrt a}\Big)^2=\dfrac{\pi}{2}\dfrac{(\ln(a))^2}{4a}={\dfrac{\pi(\ln(a))^2}{8a}}$
Il a donné une des plus sympathiques en modifiant l’écriture de F.
En faite je te sens te frotter les mains pour donner cette intégrale comme sujet d'examen:-D
Je ne suis pas enseignant. Je m'intéresse aux méthodes de calcul exact des intégrales. Certaines méthodes sont très ingénieuses et des méthodes il y en a beaucoup.
On peut calculer la première intégrale par une méthode semblable à celle utilisée pour calculer l'intégrale du premier message (on écrit $\ln(1+x)$ sous forme intégrale).
Cette méthode peut-être présentée sous la forme:
On introduit:
$\displaystyle G(a)=\int_0^1 \dfrac{\ln(1+ax)}{1+x^2}dx$ , on dérive etc.
Pour la deuxième intégrale, on fait le changement de variable $y=\dfrac{1-x}{1+x}$ et on se ramène au calcul de la première intégrale.
En espérant ne pas avoir écrit trop d'énormités.
PS:
L'intégrale $I_5$ me semble plus facile à calculer que $I_4$.
PS2:
$I_3=\dfrac{\pi\ln(2)}{4}-C$
avec $C$ la constante de Catalan.
Tu confirmes?
@Fin de partie, bravo pour $I_3$ mais il manque un facteur $2$, non ?
Je rédige.
Probablement. J'ai saboté le changement de variable $y=x^2$ :-(
La valeur que j'ai donnée plus haut, c'est Wolfram Alpha qui l'a calculée mais je pense que la méthode décrite fonctionne tout de même.
Gebrane:
On n'arrive pas, sauf erreur, à trouver une forme close pour $G(a)$ pour tout $a>0$, seulement pour $G(1)$
On parvient à trouver une forme close pour $G'(a)$ mais on n'obtient des résultats intéressants que si on intègre sur $[0,1]$.
On a $$G'(a)=\int_0^1 {x\over (1+x²)(1+ax)}dx$$ $$G'(a)=\int_0^1 ({Ax+B \over 1+x²}+{C\over 1+ax})dx$$ avec
$$Ai+B= {i \over 1+ai}; C={{-1\over a} \over 1+({-1\over a})^2}$$
$$A={1\over 1+a²}; B={a\over 1+a²}; C={-a\over 1+a²}$$ $$G'(a)= [{A\over 2} \ln(1+x²)+B \arctan(x) + {C\over a}\ln (1+ax)]_0^1$$ $$G'(a)={\ln(2) \over 2} {1\over 1+a²} + {\pi \over 4} {a \over 1+a²}-{\ln(1+a)\over 1+a²}$$ et on trouve 2 G(1) qu'on cherche $$2G(1)= {\ln(2) \over 2} \int_0^1{1\over 1+a²} da+ {\pi \over 4}\int_0^1 {a \over 1+a²}da$$
$$\int_0^1 {Ln(1+x) \over 1+x²}dx=G(1)={\ln(2) \over 4}{\pi \over 4}+{\pi \over 16}\ln(2)={\pi \over 8} Ln(2)$$
NB j'ai eu le courage pour faire ce calcul pour apprendre Latex
https://www.wolframalpha.com/input/?i=\int_0^1+{ln(1+x)+\over+1+x²}
On connait maintenant le calcul exact de $I_k$ pour k=1,2,3
Si on réussit le calcul exact de $I_4$ et $I_5$ ; Est ce qu il y a une chance sur 10000 que la constante de Catalan ne disparaît pas lorsque on fait la somme des $I_k$ K=1...5 ; Car dans ce cas la constante de Catalan s’écrira exactement à l'aide de $\pi$ , $ Ln(2)$ et ...
Je m’intéresse pas en premier lieu à chercher une preuve 3 de votre question initiale ( je vais regarder la preuve 1 avec les résidus plus tard pas encore finalisée) mais de faire une lumière sur la constante de Catalan. Personne n'a pu donner une expression exact de cette constante en fonction de $\pi$ et ...
On doit donc Calculer $I_4, I_5$ exactement et revoir le $I_3$ de Fin de partie
Mais sent tu une chance que cette constante ne disparaît pas lorsque on fait la somme?
La constante de Catalan s'est déjà volatilisée !
$I = I_1 {\ln}^2{2} + I_2\ln2 - I_3 2 \ln{2} + I_4 - I_5$
avec :
$I_1=\frac{\pi}{2}$
$I_2 = -4C$
$I_3 = \frac{\pi}{2} ln{2}- 2C$
@YvesM
Dommage!!:-X
@GreginGre
C’était une idée folle Mais rien ne prouve que la constante de Catalan ne peut pas s’écrire a l'aide des constantes usuelles comme $\pi$ et ...
Non, rien ne le prouve formellement mais on est capable de savoir si étant donnée une liste de constantes il existe une combinaison linéaire à coefficients entiers de ces constantes qui est nulle, ce qui fait qu'il est peu probable qu'on puisse trouver une expression simple (genre polynomiale) de la constante de Catalan à l'aide de $\pi$ et de $\log 2$ par exemple.
PS:
On ne sait même pas si la constante de Catalan est un nombre rationnel bien que cela soit peu probable.
PS2:
Par exemple, il est bien connu qu'il existe $p,q$ entiers non nuls premiers entre eux, tels que $\zeta(4)=\dfrac{p}{q}{\pi}^4$
on est capable calculatoirement en une fraction de seconde de retrouver ces $p,q$.
On est capable aussi si on sait que:
$\int_0^1 {\ln(1+x) \over 1+x²}dx=\dfrac{p}{q}\log(2)$ avec $p,q$ non nuls et premiers entre eux, de retrouver en une fraction de seconde les valeurs de $p,q$
On peut avec un peu de patience deviner les valeurs des deux intégrales manquantes de cette façon.
Ce ne sera pas des preuves à proprement parler mais néanmoins les valeurs seront très probablement exactes.
Peut-être avez-vous un logiciel formel plus performant qui sait faire tout ça ?