Maximum et convexité

Tonm
Tonm
dans Analyse
Bonjour, est-ce vrai qu'une fct convexe sur un convexe atteint son max sur les "sommets "? Je dis oui...merci

Réponses

  • gebrane
    gebrane
    Faux un convexe peut ne pas avoir de sommets voir image
    Le maximum d'une fonction convexe et continue sur un ensemble convexe et compact est atteint en un point extrémal41785
    Le 😄 Farceur


  • Dom
    Dom
    L'identité de R est convexe et R est convexe. Pas de maximum.
  • Tonm
    Tonm
    Merci tout deux,pour Dom (disons borné), pour sommets je veux dire pt extrémaux du conv(analogue au triangle)etc. Mais d'accord.
  • Foys
    Foys
    Soit $K$ un convexe d'un evt $E$ et $f:K \to \mathbb R$ une fonction convexe. Si $a,b \in K$, $c \in [a,b]$ (i.e $c=(1-t)a+tb$ avec $0 < t < 1$) et $f(c)=m$ est le maximum de $f$ alors $f(a)=f(b)=m$.

    Notamment, si $f$ atteint son max à l'intérieur de $K$, $f$ est constante.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • gebrane
    gebrane
    f(c)=m est le maximum de f alors f(a)=f(b)=m.

    Tu es sure?8-)
    Le 😄 Farceur


  • Foys
    Foys
    On a $m=f(c)=f((1-t)a+tb) \leq (1-t)f(a)+tf(b) \leq (1-t)m+tm=m$. Toutes ces inégalités sont donc des égalités. Or si par exemple $f(a)<m$ on aura aussi $ (1-t)f(a)+tf(b) <(1-t)m+tm$...
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Foys
    Foys
    Bon certes $m$ pourrait être confondu avec $a$...
    On suppose $c\notin \{a,b\}$.
    J'édite mon message plus haut.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Tonm
    Tonm
    Pour moi, avec Foys on a au moins m =f(a) ou f(b) mais à la fois.! Puis la remarque du fait qu'elle atteint le max à l'intérieur du convexe alors c'est constante ;ça s'arrange? (par convexité)....
  • Dom
    Dom
    J'y repense, borné ne suffit pas non plus, prendre un intervalle (borné) ouvert et toujours l'identité...
    Mais j'ai compris l'idée ;-)
  • Tonm
    Tonm
    En faite compacte .
  • Dom
    Dom
    Oui là c'est cuit !
    D'ailleurs convexe entraîne "presque" continue (on efface le presque quand c'est sur un ouvert, puis on regarde les valeurs en chaque extrémité quand on parle d'un intervalle - convexe de R.).
  • Tonm
    Tonm
    ok juste peu du sel , revenir a Foys c'est qu'on demontre sous les hypotheses du post que f est cte sur une partie dense de "[a,b]" et on peut conclure que f=cte si f est continue !
    c'est bien ??????????? edit
    oublions ce que j'ai dis j'ai compris mais reste si on est a l'interieur de convexe disons en c est ce qu'on peut couvrir tout le convexe par des "segments" passant par c ? si oui ouhhhhhhh
  • Tonm
    Tonm
    Donc c'est vrai( f sera cte sur tout 'segment' passant par c...)merci
  • Tonm
    Tonm
    Ok c'était clair...
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