Somme et équivalence

Bonjour,

A propos des opérations sur les équivalences des suites, on trouve souvent dans les livres :
- qu'il n'existe pas de résultat sur la somme (accompagné d'un contre-exemple où au moins l'une des suites n'est pas positive);
- ou le passage sous silence de cette question.
Il existe pourtant un résultat, qui requiert la positivité des suites en question.

Je m'interroge sur le côté pédagogique du point de vue adopté dans ces livres pour les raisons suivantes :
- ça me semble pratique et rapide de montrer que $\dfrac{1}{\sqrt n+\sqrt{n+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+3}+1} \sim \dfrac1{\sqrt n}$ en utilisant cette règle que sans l'utiliser ;
- "il vaut mieux ne pas donner cette règle pour que les étudiants ne l'utilisent pas avec des suites non positives" me semble un mauvais raisonnement... de toute façon les étudiants additionneront des équivalents même si on leur dit de ne pas le faire, alors autant leur mettre dans la tête l'importance de la condition de positivité que l'absence de règle ;
- d'ailleurs, la positivité n'est pas une condition difficile à retenir, d'autant plus que cette condition intervient souvent, par exemple dans les critères de convergence de séries (si $u \sim v$ et $u$ est positive, alors les séries $\sum u_n$ et $\sum v_n$ ont même nature) ;
- et, dans ces mêmes livres, on trouve plus loin à propos des séries un résultat sur l'équivalence des sommes partielles $\sum_{k=0}^n u_k \sim \sum_{k=0}^n v_k$ avec la même condition de positivité et une condition supplémentaire.

Qu'en pensez-vous ?