Convergence d'un produit

La bonne question est : sais-tu tout prouver ?

Si oui c'est bon, sinon c'est pas bon.

Pour le LaTeX sur le forum il suffit de mettre des formules entre deux dollars, comme dans un fichier .tex standard.

Bonjour
$\frac{1}{n} = o(a_n)$ est fausse si tu prend $u_n={1\over n\ln n}$

C'est aussi faux avec, tout bêtement, $(a_n)_n$ définie par $a_n=1/n$ :-).

Tu veux majorer $\ln(1-x)$ et tu espères retomber sur quelque chose qui ressemble à $x$ pour pouvoir utiliser ton hypothèse.

Voilà. Tu as tout de même des petits détails à régler : que se passe-t-il si certains des $a_n$ sont plus grand que $1$ ? Tu ne peux plus considérer $\ln(1-a_n)$.

OK :-).

Bonjour
Pour quoi ce lemme Dom?
Une série à termes positifs (APCR) divergente; diverge forcement vers $+\infty$
deux séries à termes positifs (APCR) équivalentes sont de même nature

Bonjour
@Dom. Tu seras d'accord avec moi si j’écris

Soit $(a_n)$ une suite positive telle que $a_n \to 0$, alors

$\prod\limits_{n \geq 0} (1-a_n) = 0$ equivalent à $\sum\limits_{n \geq 0} a_n = +\infty$

Peut-on faire mieux ?

Bonjour
Salut Dom tu as raison il faut modifier en ( je pense)

Soit $(a_n)$ une suite positive telle que $a_n \to
0$, alors il existe $N\in \N $
$\sum\limits_{n \geq N} a_n = +\infty$ equivalent à $\prod\limits_{n \geq N} (1-a_n) = 0$

Pour faire mieux Peut on par exemple espérer que

Soit $(a_n)$ une suite dans l'intervalle $]0,1[$ à partir d'un rang $N$
alors peut on avoir
$\sum\limits_{n \geq N} a_n = +\infty$ equivalent à $\prod\limits_{n \geq N} (1-a_n) = 0$

le sens direct ne pose aucun problème; pour la réciproque il faut voir

Bonjour

Salut Dom;-) Peut on faire encore mieux

Soit $(v_n)$ une suite dans l'intervalle $]0,1[$ à partir d'un rang $N$
alors peut on avoir
$\sum\limits_{n \geq N} (1- v_n)$ C.V equivalent à $\prod\limits_{n \geq N} (v_n) \neq 0 $

Bonjour
-le produit n'est pas nul signifie que le produit diverge vers $+\infty$ ou bien le produit converge vers un nombre non nul.
- Jai changé pour traduire le résultat dans des exemples
le cas d'une suite géométrique $v_n=a_0 a^n$ avec $a_0, a\in ]0,1[$
en faisant le calcul; on a $\prod\limits_{k=0}^n v_k=a_0^{n+1}\times a^{{n(n+1)\over 2}}$ qui tend vers 0
sans faire les calculs la série (1-v_n) diverge grossièrement donc ce produit égale à 0
( Je sais cet exemple n'est intéressant en aucun cas)
je pense tu peux nous trouver un exemple non traivial;-)

Bonjour
Ça dépend des goûts parler d'une CV au lieu d'une DV

Bonjour Dom

j'avais vu dans "faire mieux" une propriete où on enlève des hypothèses de plus en plus et non une notion subjective.

On y arrive ;-)

Version finale



1- Soit $(v_n)$ une suite dans l'intervalle $]0,1]$ à partir d'un rang $N$, alors

$\sum\limits_{n \geq N} (1- v_n)$ C.V equivalent à $\prod\limits_{n \geq N} (v_n)$ CV
$\sum\limits_{n \geq N} (1- v_n)=+\infty$ equivalent à $\prod\limits_{n \geq N} (v_n)=0$

2- Soit $(v_n)$ une suite dans l'intervalle $[1,+\infty[$ à partir d'un rang $N$, alors

$\sum\limits_{n \geq N} (1- v_n)$ C.V equivalent à $\prod\limits_{n \geq N} (v_n)$ CV
$\sum\limits_{n \geq N} (1- v_n)=-\infty$ equivalent à $\prod\limits_{n \geq N} (v_n)=+\infty$

$\prod\limits_{n \geq N} (v_n)$ converge à prendre ( comme la somme d'une série) dans le sens $\lim\limits_{n \uparrow +\infty}\prod\limits_{k= N}^n (v_k)$ existe et finie

Une preuve
Si $(v_n)$ une suite à termes strictement positifs à partir d'un rang $N$, alors $\prod\limits_{n \geq N} (v_n)$ est de meme nature que $\sum\limits_{n \geq N} \ln ( v_n)$ et en cas de convergence on a $\displaystyle {\prod\limits_{n \geq N} (v_n)= e^{(\sum\limits_{n \geq N} \ln v_n)}}$

Si $(v_n)$ ne tend pas vers 1 les séries $\sum\limits_{n \geq N} (1- v_n)$ et $\sum\limits_{n \geq N} \ln ( v_n)$ divergent grossièrement
Si $(v_n)$ tend vers 1; on a $\ln v_n \sim v_n -1$ et sont de signe constants dans les cas 1 et 2 donc les series $\sum\limits_{n \geq N} (1- v_n)$ et $\sum\limits_{n \geq N} \ln ( v_n)$ sont de meme nature

En ce qui concerne l'énoncé, oui : il faut préciser qu'aucun terme ne vaut 1 sinon ça devient faux.

Ha non. Il était plutôt tard, pardon.