intégrale complexe et isomorphisme

gustav
gustav
dans Analyse
salut a tous j'ai deux petites questions
quand on calcule une intégrale complexe souvent on obtient des résultats complexes .. que signifient ces résultats ?
ma deuxième question est la voila:
on sait que $R^2$ est isomorphe a $C$ ...existe-il une relation entre une intégrale complexe et une intégrale curviligne sur un champ de vecteur dans $R^2$ ?

Réponses

  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    Voilà pour tes deux questions :
    1) Pourquoi voudrais-tu qu'une intégrale "signifie" quelque chose ? C'est un type de calcul, qui est nécessaire dans certaines situations et dont le résultat a un sens qui dépend de cette situation.
    2) "isomorphe" pour des ensembles veut dire "de même cardinal". Donc tu veux sans doute dire autre chose que ce que tu as écrit. Mais ta question a un sens, et il ne devrait pas être trop difficile pour toi d'essayer d'y répondre seul. Essaye !

    Cordialement.
  • gustav
    gustav
    pour la première réponse c'est clair
    pour la deuxième réponse je voulais dire est-ce que on pourra considérer une fonction complexe comme un champ de vecteurs d'un ouvert de $R^2$ vers $R^2$ et appliquer les mêmes astuce de calcul d’intégrale curvilignes ?
  • Dom
    Dom
    L'approche des intégrales (su un segment) par les aires étant "naturelle", pour les fonctions complexes on peut y voir la même chose en séparant partie réelle et partie imaginaire. Comme si on calculait deux intégrales en même temps.

    C'est peut-être naïf, j'en conviens.
  • gustav
    gustav
    j'ai pas compris vraiment ce que tu as dit
  • gebrane
    gebrane
    Salut

    Dom tu t'es fait piéger :-D
    Le 😄 Farceur


  • gustav
    gustav
    on joue sur les pièges maintenant :-D l'essentielle est-ce qu'on peut considérer une fonction complexe comme un champ de vecteurs ?
  • zephir
    zephir
    Bonsoir,
    "une fonction complexe", cela ne veut rien dire.
    Une fonction a un ensemble de départ et un ensemble d'arrivée.
    Donc il faut préciser.
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Ce que voulait dire Dom, je pense:

    Si $f$ est une fonction de $[a,b]$ dans $\mathbb{C}$
    On a: $f=Re(f)+iIm(f)$ avec $Re(f)=\dfrac{f+\overline{f}}{2}$ et $Im(f)=\dfrac{f-\overline{f}}{2i}$ (ces deux dernières fonctions étant à valeurs dans $\mathbb{R}$)

    Ainsi $\displaystyle \int_a^b f(x)dx:=\int_a^b Re(f)(x)dx+i\int_a^b Im(f)(x)dx$

    Ces deux dernières intégrales n'existant pas toujours bien sûr.
  • gebrane
    gebrane
    Salut

    @Fin de partie
    DOM écrivait a écrit:
    L'approche des intégrales (su un segment) par les aires étant "naturelle", pour les fonctions complexes on peut y voir la même chose en séparant partie réelle et partie imaginaire
    On sait tous comment définir l'integrale d'une fonction à valeurs dans $\C$ mais Dom ajoute qu'on peut dire quelques chose sur les aires
    La notion d'aire est liée à la notion de positivité ( ou calcul algebrique d'une aire ) Mais dans $C$ dire que $f>0$ ou $f<0$ perd de sens
    Le 😄 Farceur


  • Dom
    Dom
    Et bien oui.
    En séparant les parties réelle et imaginaire.
    Sous un autre angle :
    Si f et g sont deux fonctions définies (disons continues) sur un segment I et à valeurs dans R, alors on sait interpréter leurs intégrales sur I, comme un aire (algébrique).
    Alors il est facile d'interpréter l'intégrale sur I de h := f + ig.
    C'est comme le calcul de l'intégrale sur I du vecteur (f ; g).
    Non ?
  • gebrane
    gebrane
    Bonjour Dom
    Non, je ne te suis pas:-(
    Si on prend I=[0.1] , h(t)=1-i (f=1 et g=-1)
    Explique ta phrase on sait interpréter leurs intégrales sur I, comme un aire (algébrique).
    Alors il est facile d'interpréter l'intégrale sur I de h := f + ig.
    C'est comme le calcul de l'intégrale sur I du vecteur (f ; g). )    .
    Dans cet exemple on calcule une aire algébrique de ?
    Le 😄 Farceur


  • Dom
    Dom
    On calcule deux aires algébriques selon moi.
  • gustav
    gustav
    Voir cette discussionhttp://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1082477,1082521#msg-1082521
    d'apres ce que vous avez dit on laisse la theorie des champs de vecteurs a côté ???
  • Fin de partie
    Fin de partie
    On sait tous comment définir l'integrale d'une fonction à valeurs dans C a écrit:

    C'est qui "tous"?

    Par ailleurs, je ne vois pas pourquoi on devrait s'interdire de calculer des aires algébriques.
    Si on fait cela alors pourquoi calculer avec des nombres entiers relatifs négatifs voire pire, pourquoi calculer avec des nombres imaginaires? :-D
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