intégrale complexe et isomorphisme
salut a tous j'ai deux petites questions
quand on calcule une intégrale complexe souvent on obtient des résultats complexes .. que signifient ces résultats ?
ma deuxième question est la voila:
on sait que $R^2$ est isomorphe a $C$ ...existe-il une relation entre une intégrale complexe et une intégrale curviligne sur un champ de vecteur dans $R^2$ ?
quand on calcule une intégrale complexe souvent on obtient des résultats complexes .. que signifient ces résultats ?
ma deuxième question est la voila:
on sait que $R^2$ est isomorphe a $C$ ...existe-il une relation entre une intégrale complexe et une intégrale curviligne sur un champ de vecteur dans $R^2$ ?
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Réponses
Voilà pour tes deux questions :
1) Pourquoi voudrais-tu qu'une intégrale "signifie" quelque chose ? C'est un type de calcul, qui est nécessaire dans certaines situations et dont le résultat a un sens qui dépend de cette situation.
2) "isomorphe" pour des ensembles veut dire "de même cardinal". Donc tu veux sans doute dire autre chose que ce que tu as écrit. Mais ta question a un sens, et il ne devrait pas être trop difficile pour toi d'essayer d'y répondre seul. Essaye !
Cordialement.
pour la deuxième réponse je voulais dire est-ce que on pourra considérer une fonction complexe comme un champ de vecteurs d'un ouvert de $R^2$ vers $R^2$ et appliquer les mêmes astuce de calcul d’intégrale curvilignes ?
C'est peut-être naïf, j'en conviens.
Dom tu t'es fait piéger :-D
"une fonction complexe", cela ne veut rien dire.
Une fonction a un ensemble de départ et un ensemble d'arrivée.
Donc il faut préciser.
Si $f$ est une fonction de $[a,b]$ dans $\mathbb{C}$
On a: $f=Re(f)+iIm(f)$ avec $Re(f)=\dfrac{f+\overline{f}}{2}$ et $Im(f)=\dfrac{f-\overline{f}}{2i}$ (ces deux dernières fonctions étant à valeurs dans $\mathbb{R}$)
Ainsi $\displaystyle \int_a^b f(x)dx:=\int_a^b Re(f)(x)dx+i\int_a^b Im(f)(x)dx$
Ces deux dernières intégrales n'existant pas toujours bien sûr.
@Fin de partie
On sait tous comment définir l'integrale d'une fonction à valeurs dans $\C$ mais Dom ajoute qu'on peut dire quelques chose sur les aires
La notion d'aire est liée à la notion de positivité ( ou calcul algebrique d'une aire ) Mais dans $C$ dire que $f>0$ ou $f<0$ perd de sens
En séparant les parties réelle et imaginaire.
Sous un autre angle :
Si f et g sont deux fonctions définies (disons continues) sur un segment I et à valeurs dans R, alors on sait interpréter leurs intégrales sur I, comme un aire (algébrique).
Alors il est facile d'interpréter l'intégrale sur I de h := f + ig.
C'est comme le calcul de l'intégrale sur I du vecteur (f ; g).
Non ?
Non, je ne te suis pas:-(
Si on prend I=[0.1] , h(t)=1-i (f=1 et g=-1)
Explique ta phrase on sait interpréter leurs intégrales sur I, comme un aire (algébrique).
Alors il est facile d'interpréter l'intégrale sur I de h := f + ig.
C'est comme le calcul de l'intégrale sur I du vecteur (f ; g). ).
Dans cet exemple on calcule une aire algébrique de ?
d'apres ce que vous avez dit on laisse la theorie des champs de vecteurs a côté ???
C'est qui "tous"?
Par ailleurs, je ne vois pas pourquoi on devrait s'interdire de calculer des aires algébriques.
Si on fait cela alors pourquoi calculer avec des nombres entiers relatifs négatifs voire pire, pourquoi calculer avec des nombres imaginaires? :-D