Équation différentielle d'ordre 1

aouaari · June 2015

Bonjour,
Je suis bloqué dans une équation différentielle d'ordre 1 mais compliquée :

$$\frac{dz}{dt}=(\alpha+\beta z)(c_0+c_1 z)+c_1 c_2 (\alpha+\beta z)^{\gamma+1} + C_2(\alpha+\beta z)^{\theta+2}$$

Je cherche à avoir $z$ en fonction de $t$
Quelqu'un a-t-il une idée pour aborder l'étude de cette équation ?

Merci.

Héhéhé · June 2015

Tu veux une formule analytique ? Ca me parait compliqué...

aouaari · June 2015

une méthode ou juste une idée. SVP merciii

gebrane · June 2015

Salut
commence par résoudre ((pour déguster les difficultés)) le problème
$\frac{dz}{dt}=(\alpha+\beta z)(c_0+c_1 z)$

aouaari · June 2015

Oui j'ai commencé par ça c'est une équation de Bernoulli et j'ai trouvé 2 solutions pour 2 cas
maintenant je suis bloqué dans la 2éme $$
\frac{dz}{dt}=c_1 c_2 (\alpha+\beta z)^{\gamma+1}
$$ Pouvez-vous me donner une méthode ou une idée ?

gebrane · June 2015

Salut
Prend $\gamma=2$ et regarde ce que tu peux faire
Tu verras il est presque impossible de traiter le cas générale

YvesM · June 2015

Bonjour @aouaari,

Peux-tu donner une définition complète de tes notations. En particulier, j'aime bien savoir où sont les fonctions de la variable (t) et les constantes, de plus si les constantes sont des paramètres, j'aime bien savoir dans quels domaines ils varient. Enfin, on cherche les solutions réelles ou complexes ?

aouaari · June 2015

Bonjour
$\alpha$, $\beta$ ,$ c_1$ et $c_2$ sont des paramètres constantes positives , et la fonction de la variable (t) c' est $ z(t)$
merciii

jean lismonde · June 2015

bonjour

les constantes positives $\gamma$ et $\theta$ sont-elles entières ?

cela paraît nécessaire à la résolution complète de l'équation différentielle

cordialement

aouaari · July 2015

oui ils sont des constantes positives entières

YvesM · July 2015

Bonjour, puisqu'il n'y pas qu'une fonction $z(t)$ de la variable réelle $t$ et tout plein de constantes, alors cette équation s'intègre en séparant les variables :
${dz \over F(z)} = dt$

Et alors la solution (quadrature) est :
$t = \int {dz \over F(z)}$

Si $F(z)$ est un polynome alors elle s'intègre facilement, si des exposants sont non-entiers, ça dépend de la forme exacte, mais on peut trouver des solutions explicites dans beaucoup de cas.

Donc tu dois spécifier un peu plus ton problème pour mener des calculs.

aouaari · July 2015

bonjour @YvesM
je cherche la fonction $z(t)$

$$t=\int \frac{dz}{(\alpha+\beta z)(c_0+c_1 z)+c_1 c_2 (\alpha+\beta z)^{\gamma+1} + C_2(\alpha+\beta z)^{\theta+2}}$$
c'est compliquée, les puissances qui gêne .......

YvesM · July 2015

Bonjour, ne cherche plus ta fonction, tu viens de l'écrire. Elle est donnée implicitement par cette quadrature.

aouaari · July 2015

Comment on intègre
$$\int \frac{dz}{(\alpha+\beta z)(c_0+c_1 z)+c_1 c_2 (\alpha+\beta z)^{\gamma+1} + C_2(\alpha+\beta z)^{\theta+2}}$$
merci pour ton aide
cordialement

Tryss · July 2015

Si $\gamma$ et $\theta$ sont des entiers positifs, il existe un polynôme $P$ tel que ta fonction soit égale à

$$\int \frac{1}{P(z)} dz$$

C'est donc l'intégrale d'une fraction rationnelle. Ca s'intègre très bien, à condition de connaitre les racines complexes de $P$.

aouaari · July 2015

j'ai essayé la méthode séparation des variables, pour intégrer la fonction obtenue,

$$\int \frac{dz}{(\alpha+\beta z)(c_0+c_1 z)+c_1 c_2 (\alpha+\beta z)^{\gamma+1} + C_2(\alpha+\beta z)^{\theta+2}}$$

j'ai pas pu décomposer la fraction rationnelle en éléments simples.
$$\frac{1}{(\alpha+\beta z)(c_0+c_1 z+c_1 c_2 (\alpha+\beta z)^{\gamma} + C_2(\alpha+\beta z)^{\theta+1})}$$

gerard0 · July 2015

Ce n'est généralement pas une fraction rationnelle. Et même si $\gamma$ et $\theta$ sont des entiers, il n'y a pas de méthode générale.

aouaari · July 2015

alors il y a aucune méthode pour décomposée cette fraction tel qu'elle est ??

merci beaucoup .

YvesM · July 2015

Bonjour @aouaari,

On n'arrivera à rien si tu n'écris pas ce que tu as fait et où tu bloques. Lorsque le dénominateur est un polynôme (dans le cas où les exposants sont entiers) alors on décompose en produit avec les racines complexes, puis en éléments simples, puis on intègre. Donc la solution est connue dans le cas général.

Équation différentielle d'ordre 1

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